Question

[Nguyễn Minh Phúc]

Cho S = 3/10 + 3/11 + 3/12 + 3/13 + 3/14

CM : 1<S<2

Answer 1

[Roblox Player]

- Để chứng minh \(1 < S < 2\) với \(S = \frac{3}{10} + \frac{3}{11} + \frac{3}{12} + \frac{3}{13} + \frac{3}{14}\), ta sẽ chứng minh từng vế của bất đẳng thức một:

- Chứng minh \(S > 1\):

- Ta có: \(S = \frac{3}{10} + \frac{3}{11} + \frac{3}{12} + \frac{3}{13} + \frac{3}{14}\)

- Ta thấy rằng: \(\frac{3}{10} > \frac{3}{15} \frac{3}{11} > \frac{3}{15} \frac{3}{12} > \frac{3}{15} \frac{3}{13} > \frac{3}{15} \frac{3}{14} > \frac{3}{15}\)

- Do đó: \(S > \frac{3}{15} + \frac{3}{15} + \frac{3}{15} + \frac{3}{15} + \frac{3}{15} = 5 \cdot \frac{3}{15} = 5 \cdot \frac{1}{5} = 1\) Vậy \(S > 1\).

- Chứng minh \(S < 2\):

- Ta có: \(S = \frac{3}{10} + \frac{3}{11} + \frac{3}{12} + \frac{3}{13} + \frac{3}{14}\)

- Ta thấy rằng: \(\frac{3}{10} < \frac{3}{10} \frac{3}{11} < \frac{3}{10} \frac{3}{12} < \frac{3}{10} \frac{3}{13} < \frac{3}{10} \frac{3}{14} < \frac{3}{10}\)

- Do đó: \(S < \frac{3}{10} + \frac{3}{10} + \frac{3}{10} + \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = 5 \cdot \frac{3}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} = 1.5 < 2\) Tuy nhiên, cách này không đủ mạnh để chứng minh \(S < 2\). Ta cần một cách tiếp cận khác.

- Ta có thể so sánh với \(\frac{3}{8}\) thay vì \(\frac{3}{10}\) \(\frac{3}{10} < \frac{3}{8} \frac{3}{11} < \frac{3}{8} \frac{3}{12} < \frac{3}{8} \frac{3}{13} < \frac{3}{8} \frac{3}{14} < \frac{3}{8}\) Như vậy \(S < 5 \cdot \frac{3}{8} = \frac{15}{8} = 1.875 < 2\) Vậy \(S < 2\).

- Từ hai chứng minh trên, ta có \(1 < S < 2\).