Question

[VTNE]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(-5;6),B(3;2),E(-4;4),F(2;-5). Tìm toạ độ điểm M sao cho M,E,F thẳng hàng và |MA+3MB| đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

[Gia Bao]

Giải

1. Điều kiện để một số \(a b c\) (chữ số \(a , b , c\)) là:
2. • Ba chữ số đều khác nhau: \(a , b , c\) phân biệt.
   • Số lẻ ⇒ chữ số \(c\) lẻ: \(c \in \left{\right. 1 , 3 , 5 , 7 , 9 \left.\right} .\)
   • Số \(a b c < 475\). Vì \(a\) là chữ số hàng trăm, nên:
   • • Nếu \(a < 4\), thì mọi \(b c\) hợp lệ thoả “lẻ và phân biệt” đều được chấp nhận.
     • Nếu \(a = 4\), cần có \(10 b + c < 75\).
3. Phân tích trường hợp
   (1) Hạng trăm \(a = 1 , 2 ,\) hoặc \(3.\)
   (2) Hạng trăm \(a = 4.\)
4. • Khi đó bất kỳ \(b \in \left{\right. 0 , 1 , \ldots , 9 \left.\right} \backslash \left{\right. a \left.\right}\) và \(c \in \left{\right. 1 , 3 , 5 , 7 , 9 \left.\right} \backslash \left{\right. a , \textrm{ } b \left.\right}\).
   • Cách đếm:
   • • Chọn \(a\) có 3 cách: \(1 , 2 , 3\).
     • Chọn \(c\) là chữ số lẻ và khác \(a\): ban đầu có 5 số lẻ (1,3,5,7,9), nếu \(a\) là lẻ thì phải loại bỏ \(a\).
     • • Trường hợp \(a\) chẵn (2), thì \(c\) có nguyên 5 lựa chọn.
       • Trường hợp \(a\) lẻ (1 hoặc 3), thì \(c\) có 4 lựa chọn (loại bỏ chữ số bằng \(a\)).
     • Sau khi chọn \(a\) và \(c\), \(b\) là chữ số \(0 \div 9\) khác \(a , c\), tức còn \(10 - 2 = 8\) lựa chọn.
   • Đếm chi tiết:
   • • Nếu \(a = 1\): chữ số \(c \in \left{\right. 3 , 5 , 7 , 9 \left.\right}\) (4 lựa chọn). Mỗi khi đã chọn \(c\), chữ số \(b\) có 8 chọn. → \(4 \times 8 = 32\) số.
     • Nếu \(a = 2\): chữ số \(c \in \left{\right. 1 , 3 , 5 , 7 , 9 \left.\right}\) (5 lựa chọn). Mỗi khi chọn \(c\), \(b\) có 8 chọn. → \(5 \times 8 = 40\) số.
     • Nếu \(a = 3\): chữ số \(c \in \left{\right. 1 , 5 , 7 , 9 \left.\right}\) (loại 3→có 4 lựa chọn). Mỗi khi chọn \(c\), \(b\) có 8 chọn. → \(4 \times 8 = 32\) số.
   • Tổng trong trường hợp \(a < 4\): \(32 + 40 + 32 = 104.\)
5. • Khi \(a = 4\), ta cần \(b\) và \(c\) sao cho \(100 \cdot 4 + 10 b + c < 475\), tức
     \(10 b + c < 75.\)
   • Đồng thời \(c\) phải lẻ: \(c \in \left{\right. 1 , 3 , 5 , 7 , 9 \left.\right}\), và ba chữ số \(4 , b , c\) phải khác nhau.
   • Ta xét từng giá trị lẻ \(c\):
   • 1. Nếu \(c = 1\): Ta muốn \(10 b + 1 < 75 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 10 b < 74 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b \leq 7.\)
     2. • \(b\) chạy từ \(0\) đến \(7\), nhưng \(b \neq 4\) (vì phải khác \(a\)), và \(b \neq c = 1\).
        • Trong phạm vi \(b \in \left{\right. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 \left.\right}\), loại bỏ 1 và 4 → còn \(\left{\right. 0 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 \left.\right}\), tất cả là 6 chữ số.
          ⇒ cho \(c = 1\) có 6 tổ hợp \(\left(\right. b , c \left.\right)\).
     3. Nếu \(c = 3\): Ta cần \(10 b + 3 < 75 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b \leq 7\).
     4. • \(b \in \left{\right. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 \left.\right}\), loại bỏ \(b = 4\) (trùng \(a\)) và \(b = 3\) (trùng \(c\)).
        • Còn \(\left{\right. 0 , 1 , 2 , 5 , 6 , 7 \left.\right}\): 6 trường hợp.
     5. Nếu \(c = 5\): \(10 b + 5 < 75 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b \leq 6\).
     6. • \(b \in \left{\right. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \left.\right}\), loại bỏ \(b = 4\) và \(b = 5\).
        • Còn \(\left{\right. 0 , 1 , 2 , 3 , 6 \left.\right}\): 5 trường hợp.
     7. Nếu \(c = 7\): \(10 b + 7 < 75 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b \leq 6\).
     8. • \(b \in \left{\right. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \left.\right}\), loại bỏ \(b = 4\) và \(b = 7\) (chữ số c=7).
        • Còn \(\left{\right. 0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 6 \left.\right}\): 6 trường hợp, nhưng cần kiểm tra xem b=7 bị loại; b=4 bị loại. Thực ra ban đầu tập b: 0..6 (7 phần tử). Loại 4,7 → chỉ loại 4 vì 7 không thuộc 0..6. Và loại nếu b=c=7, nhưng c=7, b không thể là 7 vì b ≤ 6. → còn 6 phần tử: {0,1,2,3,5,6}.
     9. Nếu \(c = 9\): \(10 b + 9 < 75 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b \leq 6\).
     10. • \(b \in \left{\right. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \left.\right}\), loại bỏ \(b = 4\) và \(b = 9\) (không cần, vì b≤6).
         • Còn \(\left{\right. 0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 6 \left.\right}\): 6 trường hợp.
   • Tính tổng
     \(c = 1 : & \textrm{ }\textrm{ } 6 \&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch} , \\ c = 3 : & \textrm{ }\textrm{ } 6 \&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch} , \\ c = 5 : & \textrm{ }\textrm{ } 5 \&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch} , \\ c = 7 : & \textrm{ }\textrm{ } 6 \&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch} , \\ c = 9 : & \textrm{ }\textrm{ } 6 \&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch} .\)
     Tổng cộng khi \(a = 4\): \(6 + 6 + 5 + 6 + 6 = 29.\)
6. Kết hợp hai trường hợp
   \(104 + 29 = 133.\)
7. • Trường hợp \(a < 4\): \(104\) số.
   • Trường hợp \(a = 4\): \(29\) số.
     ⇒ Tổng số các số thỏa mãn là

Đáp án: Có \(\boxed{133}\) số thỏa mãn.