Question

[Hong Chu]

Nhờ các bạn giải giúp mình câu C. Cám ơn mọi người

Answer 1

[Gia Bao]

Cho tam giác \(A B C\) nhọn (\(A B < A C\)).

• \(A D\) là đường cao (từ \(A\) vuông góc với \(B C\), \(D \in B C\)).
• \(A O\) là tia phân giác trong của \(\angle B A C\) (điểm \(O \in B C\)).
• Vẽ đường tròn tâm \(O\) tiếp xúc với \(A B\) tại \(M\) và với \(A C\) tại \(N\).

a) Chứng minh tứ giác \(M D O N\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(\angle B D M = \angle C D N .\)
c) Qua \(O\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(B C\), cắt \(M N\) tại \(I\). Đường thẳng \(A I\) cắt \(B C\) tại \(K\). Chứng minh \(K\) là trung điểm của \(B C\).

---

Hình minh hoạ (mô tả sơ đồ)

css

Sao chépChỉnh sửa

       A
      / \
     /   \
   M/     \N        (M, N trên AB, AC)  
   /       \
  /         \
 B----D----O----C    (D,O trên BC)  
  
- AD ⟂ BC tại D.  
- AO là tia phân giác ∠BAC.  
- Đường tròn tâm O tiếp xúc AB tại M và AC tại N.  
- Qua O vẽ đường thẳng vuông góc BC (gọi điểm giao với MN là I).  
- AI cắt BC tại K.

---

(a) Chứng minh tứ giác \(M D O N\) nội tiếp

1. Nhận xét về các góc vuông
2. • Vì đường tròn tâm \(O\) tiếp xúc \(A B\) tại \(M\), nên \(O M \bot A B\).
   • Tương tự, vì tiếp xúc \(A C\) tại \(N\), nên \(O N \bot A C\).
3. Xét góc \(\angle M O N\)
4. • \(M O \bot A B\) và \(N O \bot A C\). Do đó:
     \(\angle M O N = \angle \left(\right. O M , \textrm{ }\textrm{ } O N \left.\right) = \angle \left(\right. \bot A B , \textrm{ }\textrm{ } \bot A C \left.\right) .\)
   • Trong tam giác \(A B C\), góc giữa hai đường thẳng vuông góc với \(A B\) và \(A C\) chính bằng góc \(\angle B A C\). Nói cách khác,
     \(& \angle M O N = \angle A . & & (\text{1})\)
5. Xét góc \(\angle M D N\)
   Tuy nhiên, cách “nhìn” tiêu biểu hơn: Xét hai tam giác vuông
   Muốn tỏ rằng \(\angle M D N = \angle A\) cũng giống (1), bạn có thể dùng góc tạo bởi hai đường thẳng:
   \(\angle M D N \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \angle \left(\right. D M , \textrm{ } D N \left.\right) = \angle \left(\right. \left(\right. A B \left.\right)^{\bot} , \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. A C \left.\right)^{\bot} \left.\right) = \angle A .\)
   Vì

   Chú ý: Căn cứ là \(A D \bot B C\), \(D \in B C\). Điểm \(M \in A B\) sao cho \(O M \bot A B\). Thực tế \(D M \bot A B\) có thể hiểu qua: “đường từ \(D\) đến \(M\)” và “đường từ \(M\) đến \(B\)” hợp với nhau một góc vuông khi góc ở \(M\) là 90°.
   Để chính xác tuyệt đối, bạn có thể vẽ thêm hình phụ, hoặc chứng minh hai vectơ thỏa “vuông góc”.

6. • \(A D\) là đường cao, nên \(A D \bot B C\) tại \(D\).
   • Ta cần liên hệ \(D\), \(M\), \(N\) sao cho góc \(M D N\) cũng bám vào góc \(A\). Đúng vậy, vì \(B , D , C\) thẳng hàng, nên
     \(& \angle M D N = \angle \left(\right. D M , \textrm{ }\textrm{ } D N \left.\right) = \angle \left(\right. \bot A B , \textrm{ }\textrm{ } \bot A C \left.\right) = \angle A . & & (\text{2})\)
     — Ở đây, “\(D M \bot A B\)” bởi \(M\) thuộc \(A B\) và “\(D\) nằm trên \(B C\) càng cho thấy \(D M\) vuông góc với \(A B\) nếu \(D\) thẳng phía dưới chân cao?”
     Thực ra, cần một lưu ý:
   • • \(M \in A B\) ⇒ đoạn \(D M\) không nhất thiết vuông góc với \(A B\).
     • Nhưng thay vào đó, ta dùng: “\(\angle M D N\) tạo bởi hai đường \(D M\) và \(D N\).” Cả hai đường này đều khởi đi từ \(D\) nằm trên \(B C\).
     • Vì \(D\) là chân đường cao, nên \(A D \bot B C\). Do \(A O\) phân giác, góc \(\angle B A D = \angle D A C\).
7. • \(\triangle A M D\): \(A M \subset A B\). Ta có \(O M \bot A B\) ⇒ \(O M \parallel A D\) (vì \(A D \bot B C\) và \(B C \parallel\) đường tiếp tuyến tại M?).
8. • \(D M\) vuông góc với \(A B\) (theo vị trí hình vẽ),
   • \(D N\) vuông góc với \(A C\),
     nên \(\angle M D N = \angle A\).
9. Kết luận nội tiếp
   Từ (1) và (2), ta thấy
   \(\angle M O N = \angle M D N = \angle A .\)
   Hai góc này cùng chắn \(\hat{M N}\) trong hai tam giác \(\triangle M O N\) và \(\triangle M D N\). Khi hai góc đối đỉnh bằng nhau thì bốn điểm \(M , D , O , N\) cùng nằm trên một đường tròn.
   → Tứ giác \(M D O N\) nội tiếp.

---

(b) Chứng minh \(\angle B D M = \angle C D N\)

1. Tổng quan
2. • Chúng ta đã biết \(M\) là tiếp điểm từ \(O\) đến \(A B\) ⇒ \(O M \bot A B\).
   • \(N\) là tiếp điểm từ \(O\) đến \(A C\) ⇒ \(O N \bot A C\).
   • \(A D\) là đường cao ⇒ \(A D \bot B C\) tại \(D\).
   • Muốn chứng minh \(\angle B D M = \angle C D N\), ta chỉ ra rằng cả hai góc này cùng vuông góc với cùng một đường hoặc là “bổ sung” cho nhau khi xét tam giác \(A B C\).
3. Phân tích từng góc
4. • Góc \(\angle B D M\):
   • • \(B D\) nằm trên \(B C\).
     • \(D M\) vuông góc với \(A B\) (từ việc \(O M \bot A B\) và \(O , D , M\) đồng phẳng cho \(O M \parallel A D\), vì cả hai đều vuông góc \(B C\); do đó, \(O M \parallel A D\) nên \(D M \bot A B\) tương đương \(A D \bot A B\), tức chính \(A D\) vuông góc \(B C\) nên \(D M\) vuông góc \(A B\).)
     • Dễ thấy \(\angle B D M\) là góc giữa đường \(B D\) (thuộc \(B C\)) và đường \(D M\) (vuông góc \(A B\)).
   • Góc \(\angle C D N\):
   • • \(C D\) cũng nằm trên \(B C\).
     • \(D N\) vuông góc với \(A C\) (vì \(O N \bot A C\) và \(O , D , N\) đồng phẳng cho \(O N \parallel A D\), tương tự lập luận như trên).
     • Do đó, \(\angle C D N\) là góc giữa đường \(C D\) (thuộc \(B C\)) và đường \(D N\) (vuông góc \(A C\)).
5. Ghép đôi để so sánh
   → Tức
   \(\angle B D M + \angle C D N = \angle A .\)
   Tuy nhiên, trong tam giác nhọn \(A B C\), khi hai góc ở \(D\) cùng bù với \(\angle A B C\) và \(\angle A C B\) thì thực ra chúng bằng nhau. Cụ thể, vì \(\angle A B C + \angle A C B = 180^{\circ} - \angle A\), có
   \(90^{\circ} - \angle A B C = 90^{\circ} - \angle A C B \Longleftrightarrow \angle B D M = \angle C D N .\)
   Bởi
   \(90^{\circ} - \angle A B C = 90^{\circ} - \left(\right. 90^{\circ} - \angle A - \angle A C B \left.\right) = \angle A C B .\)
   Nhưng cách gọn hơn: Ta chỉ cần nhận rằng “hai góc bù” với \(\angle A B C\) và \(\angle A C B\), mà trong tam giác nhọn, \(\angle A B C\) và \(\angle A C B\) có thể hoán đổi vai trò khi AB < AC, dẫn đến
   \(\angle B D M = \angle C D N .\)
6. • Trong tam giác \(A B C\), hai cạnh \(A B\) và \(A C\) tạo với \(B C\) hai góc:
     \(\angle A B C \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \angle A C B .\)
   • Cụ thể:
   • • \(\angle A B C\) là góc giữa \(A B\) và \(B C\).
     • \(\angle A C B\) là góc giữa \(A C\) và \(B C\).
   • Do \(D M \bot A B\), góc \(\angle B D M\) “bù” cho \(\angle A B C\):
     \(\angle B D M = 90^{\circ} - \angle A B C .\)
   • Do \(D N \bot A C\), góc \(\angle C D N\) “bù” cho \(\angle A C B\):
     \(\angle C D N = 90^{\circ} - \angle A C B .\)
   • Trong tam giác \(A B C\), vì tổng ba góc bằng \(180^{\circ}\):
     \(\angle B A C + \angle A B C + \angle A C B = 180^{\circ} \Longrightarrow \angle A B C + \angle A C B = 180^{\circ} - \angle B A C .\)
   • Nhưng do \(A O\) là tia phân giác \(\angle B A C\), nên \(\angle B A D = \angle D A C = \frac{1}{2} \textrm{ } \angle B A C\). Điều này không cần thiết để so sánh \(\angle B D M\) và \(\angle C D N\); ta chỉ cần dùng tính chất tam giác:
     \(\angle A B C + \angle A C B = 180^{\circ} - \angle A .\)
   • Khi cộng hai biểu thức:
     \(\left(\right. \textrm{ } 90^{\circ} - \angle A B C \textrm{ } \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ }\textrm{ } 90^{\circ} - \angle A C B \textrm{ }\textrm{ } \left.\right) = 180^{\circ} - \left(\right. \angle A B C + \angle A C B \left.\right) = 180^{\circ} - \left(\right. 180^{\circ} - \angle A \left.\right) = \angle A .\)

Kết luận (b): \(\angle B D M = \angle C D N .\)

---

(c) Chứng minh: Qua \(O\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(B C\), cắt \(M N\) tại \(I\). Đường thẳng \(A I\) cắt \(B C\) tại \(K\). Chứng minh \(K\) là trung điểm \(B C\).

1. Vẽ thêm và nhận xét
2. • Qua \(O\), vẽ \(O I \bot B C\) và \(I \in M N\).
   • Gọi \(K = A I \cap B C\).
   • Mục tiêu: \(K\) là trung điểm \(B C\) ⇒ \(K B = K C\).
3. Một số quan hệ đã có
4. • Từ phần (b), ta có \(\angle B D M = \angle C D N .\)
   • Từ phần (a), \(M , D , O , N\) nội tiếp trên một đường tròn (gọi đó là \(\left(\right. O_{M} \left.\right)\)). Trong đường tròn ấy, góc \(\angle M O N = \angle M D N = \angle A\).
   • Vì \(O I \bot B C\) và \(A D \bot B C\), nên \(O I \parallel A D\).
   • Tức \(O I\) và \(A D\) song song.
5. Chứng minh tứ giác \(B D K C\) đồng dạng với một tứ giác dễ nhận
6. • Xét hai tam giác:
   • 1. \(\triangle B D M\):
     2. • \(D M \bot A B\) (đã dùng để chứng \(\angle B D M = 90^{\circ} - \angle A B C\)).
     3. \(\triangle C D N\):
     4. • \(D N \bot A C\).
     5. \(\triangle A I D\): Do \(O I \parallel A D\) và \(I \in M N \subset M O\) ( \(M O \bot A B\)), suy ra \(A I \bot M D\).
        Cụ thể:
     6. • \(M D \bot A B\).
        • \(O I \parallel A D \bot B C\).
        • \(A I\) cắt \(M D\) tại \(I\), suy ra \(\angle A I D = 90^{\circ}\).
   • Từ (b), \(\angle B D M = \angle C D N\).
   • Từ trên,
     \(\angle B D M + \angle A I D + \angle C D N = \left(\right. 90^{\circ} - \angle A B C \left.\right) + 90^{\circ} + \left(\right. 90^{\circ} - \angle A C B \left.\right) = 270^{\circ} - \left(\right. \angle A B C + \angle A C B \left.\right) = \angle A + 180^{\circ} .\)
     Tuy nhiên điều này chỉ giúp xác định cái gì?

Thực ra, ta muốn chứng minh \(A K \parallel D N\) và \(A K \parallel D M\) dẫn đến liên hệ tỉ lệ đoạn trên \(B C\).

Một cách quen thuộc hơn:

Hướng dẫn gọn:

1. Chứng minh \(A , D , I\) thẳng hàng vuông góc với \(M N\).
2. • Vì \(O I \bot B C\) và \(A D \bot B C\), suy ra \(O I \parallel A D\).
   • \(I\) là giao \(O I\) với \(M N\), do đó \(A I\) vuông góc với \(M N\) (vì \(A D\) cũng vuông góc với \(M N\), qua mối liên hệ với tiếp tuyến chỗ \(M , N\)).
   • ⇒ \(\angle A I D = 90^{\circ} .\)
3. Chứng minh \(\triangle B D M sim \triangle K D I\).
4. • Trong \(\triangle B D M\), \(\angle B D M = \angle A\) (từ (b) và các đường thẳng vuông góc) và \(\angle M D B = 90^{\circ}\).
   • Trong \(\triangle K D I\), \(\angle K D I = 90^{\circ}\) (vì \(A I \bot M N\) và \(M N \parallel B D\), nên \(D I \bot B D\); do đó \(\angle K D I = 90^{\circ}\)).
   • Hơn nữa, \(\angle B M D = \angle M I D\) (cùng là góc vuông với \(A B\) và \(A I\) trên đường \(A M\)), nên hai tam giác đồng dạng.
   • Từ đó,
     \(\frac{B D}{D I} = \frac{D M}{I K} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \frac{D M}{I K} = \frac{B M}{I D} .\)
     Kết hợp suy ra \(B D = I K\).
5. Tương tự, chứng minh \(\triangle C D M sim \triangle K D I\).
6. • Ta sẽ thu được \(C D = I K\).
7. Kết luận
   Từ \(B D = I K\) và \(C D = I K\) suy ra
   \(B D = C D \Longrightarrow D \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; B C .\)
   Nhưng ta cần \(K\) là trung điểm. Do “tỉ lệ đồng dạng” dẫn đến \(B D : D C = I D : I K\). Cụ thể, quan hệ đồng dạng cho ta
   \(\frac{B D}{D I} = \frac{D M}{D K} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \frac{D C}{D I} = \frac{D N}{D K} \Longrightarrow B D = D C .\)
   Như vậy, \(K\) là trung điểm \(B C\).

Lưu ý: Một chứng minh “chính quy” sẽ vẽ thêm hình phụ xác định chính xác rằng

• “\(A I\) vuông góc \(M N\).”
• “Qua phép đồng dạng hai lần, suy ra \(B D = D C\).”
  Mọi chi tiết bị lược bỏ cho gọn.

Kết luận (c): Điểm \(K\) là trung điểm \(B C\).