Question

[Taitue]

Bài 2. Chứng minh rằng: không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn x^2 = 2y^2 − 8y + 3.

Answer 1

[Gia Bao]

---

1. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn:

\(x^{2} = 2 y^{2} - 8 y + 3\)

Giải chi tiết:

Ta có:

\(x^{2} = 2 y^{2} - 8 y + 3\)\(x^{2} = 2 \left(\right. y^{2} - 4 y \left.\right) + 3\)\(x^{2} = 2 \left(\right. y^{2} - 4 y + 4 \left.\right) + 3 - 8\)\(x^{2} = 2 \left(\right. y - 2 \left.\right)^{2} - 5\)\(x^{2} + 5 = 2 \left(\right. y - 2 \left.\right)^{2}\)

Vì x, y nguyên nên x^2 + 5 là số chẵn ⇒ x phải là số lẻ.

Đặt x = 2k + 1 (k ∈ ℤ):

\(x^{2} + 5 = \left(\right. 2 k + 1 \left.\right)^{2} + 5 = 4 k^{2} + 4 k + 1 + 5 = 4 k^{2} + 4 k + 6\)\(2 \left(\right. y - 2 \left.\right)^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 6\)\(\left(\right. y - 2 \left.\right)^{2} = 2 k^{2} + 2 k + 3\)

Vì (y - 2)^2 ≥ 0 ⇒ 2k^2 + 2k + 3 ≥ 0

Nhưng (y - 2)^2 ≡ 0, 1 mod 4

Kiểm tra giá trị mod 4 của vế phải:

• 2k^2 + 2k + 3 ≡ 2k^2 + 2k + 3 (mod 4)
• k^2 ≡ 0, 1 mod 4
• k ≡ 0, 1, 2, 3 mod 4

Thử từng trường hợp:

• Nếu k chẵn (k = 2m): k^2 ≡ 0, k ≡ 0
  ⇒ 2k^2 + 2k + 3 ≡ 0 + 0 + 3 ≡ 3 (mod 4)
• Nếu k lẻ (k = 2m + 1): k^2 ≡ 1, k ≡ 1
  ⇒ 2k^2 + 2k + 3 ≡ 2 + 2 + 3 = 7 ≡ 3 (mod 4)

Vậy (y - 2)^2 ≡ 3 (mod 4)

Nhưng bình phương số nguyên chỉ có thể ≡ 0 hoặc 1 (mod 4).

Kết luận:
Không tồn tại số nguyên x, y thỏa mãn phương trình đã cho.