Question

[Quỳnh Trang]

Câu 17: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R)(BC là tiếp điểm), tia AO cắt BC tại I. Điểm H thuộc đoạn thẳng BI(H khác B và H khác I). Đường thẳng d vuông góc với OH tại H, d cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh tứ giác OHBP nội tiếp đường tròn (kẻ hình giúp mik với ạ)

Answer 1

[Trần Thị Ngọc Hà]

Để chứng minh tứ giác \(O H B P\) nội tiếp, ta cần chỉ ra rằng tổng hai góc đối nhau bằng \(180^{\circ}\), hoặc có một góc là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

1. • Do \(d\) vuông góc với \(O H\) tại \(H\), ta có: \(\angle O H P = 90^{\circ}\)
   • Ta cần chứng minh \(\angle O H P + \angle O B P = 180^{\circ}\).
   • \(B C\) là tiếp tuyến tại \(B , C\) nên \(O B \bot B C\) và \(O C \bot B C\).
   • Từ đó, \(O B\) vuông góc với \(B I\), suy ra \(B I\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(O B I\).
   • Vì \(H\) thuộc \(B I\), ta có \(\angle O H I = 90^{\circ}\).
   • \(\angle O H P = 90^{\circ}\) và \(\angle O B P = 90^{\circ}\).
   • Do đó, tổng hai góc này là: \(\angle O H P + \angle O B P = 180^{\circ}\)
   • Theo tính chất của tứ giác nội tiếp, tứ giác \(O H B P\) nội tiếp đường tròn.

mình không thể trực tiếp vẽ hình nhưng bạn có thể làm theo các bước sau để dựng hình:

1. Vẽ đường tròn \(\left(\right. O ; R \left.\right)\).
2. Chọn điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn và vẽ hai tiếp tuyến \(A B , A C\).
3. Nối \(A O\) và xác định \(I\) là giao điểm của \(A O\) với \(B C\).
4. Chọn điểm \(H\) trên đoạn \(B I\).
5. Vẽ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(O H\) tại \(H\), cắt \(A B\) tại \(P\) và \(A C\) tại \(Q\).
6. Xác định tứ giác \(O H B P\) và kiểm tra tính chất nội tiếp.

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Xét tứ giác OHBP có \(\widehat{OHP}=\widehat{OBP}=90^0\)

nên OHBP là tứ giác nội tiếp