tìm tất cả cá số nguyên tố x,y thỏa mãn: \(3x^2+1=19y^22\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
M
0
LV
1
KK
14 tháng 4 2021
Ta có: 3x2 + 1 = 19y2
<=> 19y2 - 3x2 = 1 (1)
Do VP = 1 là số lẻ => VT = 19y2 - 3x2 lẻ
=> 19y2 chẵn và 3x2 lẻ hoặc 19y2 lẻ và 3x2 chẵn
Nếu 19y2 chẵn và 3x2 lẻ => y2 chẵn vì y nguyên tố => y = 2 và x2 lẻ => x lẻ
Với y = 2 thay vào (1) <=> 19.22 - 3x2 = 1
<=> 75 = 3x2
<=> x2 = 25
<=> x = 5 (tm vì x nguyên tố) hoặc x = -5 (ktm)
Nếu 19y2 lẻ và 3x2 chẵn => y2 lẻ và x2 chẵn
vì x nguyên tố => x = 2 và y lẻ
Thay x = 2 vào (1)
=> 19y2 - 3.22 = 1
<=> 19y2 = 13
<=> y2 = 13/19 (không là số chính phương)
=> không có giá trị y nguyên tố tm
Vậy x = 5 và y = 2
BV
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 1 2021
1.
\(2\left|x\right|+3\left|y\right|=13\Rightarrow\left|x\right|=\dfrac{13-3\left|y\right|}{2}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|y\right|\le\dfrac{13}{3}\\\left|y\right|\text{ là số lẻ}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left|y\right|=\left\{1;3\right\}\)
- Với \(\left|y\right|=1\Rightarrow\left|x\right|=5\Rightarrow\) có 4 cặp
- Với \(\left|y\right|=3\Rightarrow\left|x\right|=2\) có 4 cặp
Tổng cộng có 8 cặp số nguyên thỏa mãn
2.
\(x\left(y+3\right)=7y+21+1\)
\(\Leftrightarrow x\left(y+3\right)-7\left(y+3\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-7\right)\left(y+3\right)=1\)
\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(6;-4\right);\left(8;-2\right)\) có 2 cặp
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 3 2022
Quy tắc chia hết cơ bản: với các số nguyên dương ta luôn có \(a^n-b^n\) chia hết \(a-b\)
Do đó \(199^x-2^x⋮197\)
\(\Rightarrow p^y⋮197\Rightarrow p⋮197\) (do 197 là số nguyên tố)
\(\Rightarrow p=197\)
Pt trở thành: \(199^x-2^x=197^y\)
- Với \(x=1\Rightarrow y=1\)
- Với \(x=2\Rightarrow199^2-2^2=197.201\) chia hết 201, trong khi \(197^y\) ko chia hết cho 201 (ktm)
- Với \(x\ge3\) \(\Rightarrow2^x⋮8\)
TH1: Nếu x lẻ \(\Rightarrow\)\(199^x\equiv-1\left(mod8\right)\Rightarrow199^x-2^x\equiv-1\left(mod8\right)\)
+ \(y\) chẵn \(\Rightarrow197^y\equiv5^y\left(mod8\right)\equiv5^{2k}\left(mod8\right)\equiv25^k\left(mod8\right)\equiv1\left(mod8\right)\) (ktm)
+ \(y\) lẻ \(\Rightarrow197^y\equiv5^{2k+1}\left(mod8\right)\equiv5.25^k\left(mod8\right)\equiv5\) (mod8) (ktm)
TH2:\(x\) chẵn \(\Rightarrow199^x\equiv1\left(mod8\right)\Rightarrow199^x-2^x\equiv1\left(mod8\right)\)
+ \(y\) lẻ \(\Rightarrow\) tương tự TH1 ta có \(197^y\equiv5\left(mod8\right)\) (ktm)
\(\Rightarrow y\) chẵn
Khi x;y cùng chẵn, ta có \(199^x\equiv1\left(mod3\right)\) và \(2^x\equiv1\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow199^x-2^x⋮3\Rightarrow197^y⋮3\) (vô lý)
Vậy với \(x\ge3\) ko tồn tại bộ số nguyên dương nào thỏa mãn
Hay có đúng 1 bộ số thỏa mãn yêu cầu: \(\left(x;y;p\right)=\left(1;1;197\right)\)
x, y là số nguyên tố
+) Với x =2
=> 12+1=19y^2 => y^2=13/19 loại
+) Với y=2
=> 3x^2+1=76
=> x^2=25=> x=5
+) Với x, y là số nguyen tố lẻ
3x^2 lẻ
=> 3x^2+1 là số chẵn
=> 19y^2 là số chẵn => y^2 là số chẵn => y là số chẵn vô lí
Vậy y=2, x=5
Phương trình đã cho là:
\(3 x^{2} + 1 = 19 y^{2}\)
Chúng ta sẽ thử nghiệm với các giá trị nhỏ của \(y\) (vì \(y\) là số nguyên tố) và tìm các giá trị tương ứng của \(x\).
Bước 2: Thử giá trị nhỏ cho \(y\)
Khi \(y = 2\):
\(3 x^{2} + 1 = 19 \times 2^{2} = 19 \times 4 = 76\) \(3 x^{2} = 76 - 1 = 75\) \(x^{2} = \frac{75}{3} = 25 \Rightarrow x = 5\)
Vậy cặp \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 5 , 2 \left.\right)\) là một nghiệm.
Khi \(y = 3\):
\(3 x^{2} + 1 = 19 \times 3^{2} = 19 \times 9 = 171\) \(3 x^{2} = 171 - 1 = 170\) \(x^2=\frac{170}{3}\)
Do đó, không có giá trị \(x\) nguyên.
Phương trình đã cho là:
\(3 x^{2} + 1 = 19 y^{2}\)
Chúng ta sẽ thử nghiệm với các giá trị nhỏ của \(y\) (vì \(y\) là số nguyên tố) và tìm các giá trị tương ứng của \(x\).
Bước 2: Thử giá trị nhỏ cho \(y\)
Khi \(y = 2\):
\(3 x^{2} + 1 = 19 \times 2^{2} = 19 \times 4 = 76\) \(3 x^{2} = 76 - 1 = 75\) \(x^{2} = \frac{75}{3} = 25 \Rightarrow x = 5\)
Vậy cặp \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 5 , 2 \left.\right)\) là một nghiệm.
Khi \(y = 3\):
\(3 x^{2} + 1 = 19 \times 3^{2} = 19 \times 9 = 171\) \(3 x^{2} = 171 - 1 = 170\) \(x^2=\frac{170}{3}\)
Do đó, không có giá trị \(x\) nguyên.
Khi \(y = 5\):
\(3 x^{2} + 1 = 19 \times 5^{2} = 19 \times 25 = 475\) \(3 x^{2} = 475 - 1 = 474\) \(x^2=\frac{474}{3}=158\left(\right.\text{kh}\hat{\text{o}}\text{ng phải là một số hoàn chỉnh}\left.\right)\)
Do đó, không có giá trị \(x\) nguyên.
Bước 3: Kết luận
Sau khi thử các giá trị nhỏ cho \(y\), ta chỉ tìm thấy nghiệm duy nhất là \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 5 , 2 \left.\right)\).
Vậy, cặp số nguyên tố duy nhất thỏa mãn phương trình là \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 5 , 2 \left.\right)\).