Question

[Đặng Quang Minh]

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

2:

a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra AO là đường trung trực của BC

=>AO\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\) không đổi

c: Xét (O) có

\(\widehat{ABM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BM

\(\widehat{BNM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

Do đó: \(\widehat{ABM}=\widehat{BNM}\)

Xét ΔABM và ΔANB có

\(\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\)

\(\widehat{BAM}\) chung

Do đó: ΔABM~ΔANB

=>\(\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}\)

=>\(AM\cdot AN=AB^2\left(3\right)\)

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(AM\cdot AN=AH\cdot AO\)

Gọi I là giao điểm của BA và CD

Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>BC\(\perp\)DI tại C

=>ΔBCI vuông tại C

Ta có: \(\widehat{ACI}+\widehat{ACB}=\widehat{BCI}=90^0\)

\(\widehat{AIC}+\widehat{ABC}=90^0\)(ΔBCI vuông tại C)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(ΔBCA cân ạti A)

nên \(\widehat{ACI}=\widehat{AIC}\)

=>AI=AC

mà AB=AC

nên AB=AI(5)

TA có: CE\(\perp\)BD

IB\(\perp\)BD

Do đó: CE//IB

Xét ΔDAB có EK//AB

nên \(\dfrac{EK}{AB}=\dfrac{DK}{DA}\left(6\right)\)

Xét ΔDAI có KC//AI

nên \(\dfrac{KC}{AI}=\dfrac{DK}{DA}\left(7\right)\)

Từ (5),(6),(7) suy ra EK=KC

=>K là trung điểm của EC