Question

[LƯU NAM HẢI]

Cho đường tròn \(\left(\right. O ; R \left.\right)\) có hai đường kính \(A B\) và \(C D\) vuông góc tại \(O\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(O B\). Tia \(C I\) cắt đường tròn \(\left(\right. O ; R \left.\right)\) tại \(E\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(A E\) và \(C D\).

a) Chứng minh bốn điểm \(O\), \(I\), \(E\), \(D\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh: \(A H . A E = 2 R^{2}\) và \(O A = 3. O H\).

c) Gọi \(K\) là hình chiếu của \(O\) trên \(B D\), \(Q\) là giao điểm của \(A D\) và \(B E\). Chứng minh: \(Q , K , I\) thẳng hàng. 

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

ΔCED nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔCED vuông tại E

Xét tứ giác OIED có \(\widehat{IOD}+\widehat{IED}=90^0+90^0=180^0\)

nên OIED là tứ giác nội tiếp

=>O,I,E,D cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có \(\widehat{CEA}\) là góc nội tiếp chắn cung CA

\(\widehat{CEB}\) là góc nội tiếp chắn cung CB

\(sđ\stackrel\frown{CA}=sđ\stackrel\frown{CB}\)

Do đó: \(\widehat{CEA}=\widehat{CEB}\)

=>EC là phân giác của góc AEB

I là trung điểm của OB

=>\(OI=IB=\dfrac{OB}{2}=\dfrac{R}{2}\)

\(AI=AO+OI=R+\dfrac{R}{2}=\dfrac{3R}{2}\)

Xét ΔEAB có EI là phân giác

nên \(\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{AI}{IB}=\dfrac{3R}{2}:\dfrac{R}{2}=\dfrac{3R}{2}\cdot\dfrac{2}{R}=3\)

=>EA=3EB

Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

=>\(EA^2+EB^2=AB^2\)

=>\(\left(3EB\right)^2+EB^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)

=>\(10\cdot EB^2=4R^2\)

=>\(EB^2=\dfrac{2}{5}R^2\)

=>\(EB=\sqrt{R^2\cdot\dfrac{2}{5}}=R\cdot\dfrac{\sqrt{10}}{5}\)

\(EA=3\cdot EB=\dfrac{3R\sqrt{10}}{5}\)

Xét ΔAOH vuông tại O và ΔAEB vuông tại E có

\(\widehat{OAH}\) chung

Do đó: ΔAOH~ΔAEB

=>\(\dfrac{AO}{AE}=\dfrac{OH}{EB}\)

=>\(\dfrac{AO}{OH}=\dfrac{AE}{EB}=3\)

=>AO=3OB

ΔAOH~ΔAEB

=>\(\dfrac{AO}{AE}=\dfrac{AH}{AB}\)

=>\(AE\cdot AH=AO\cdot AB=R\cdot2R=2R^2\)

c: \(OH=\dfrac{1}{3}OA=\dfrac{1}{3}OD\)

=>\(DH=\dfrac{2}{3}DO\)

Xét ΔDAB có

DO là đường trung tuyến

\(DH=\dfrac{2}{3}DO\)

Do đó: H là trọng tâm của ΔADB

=>AH cắt DB tại trung điểm của DB(1)

ΔOBD cân tại O

mà OK là đường cao

nên K là trung điểm của DB(2)

Từ (1),(2) suy ra A,H,K thẳng hàng

=>AK\(\perp\)BD tại E

mà BD\(\perp\)DA

nên BD\(\perp\)AQ

Xét ΔQAB có

BD,AE là các đường cao

BD cắt AE tại K

Do đó: K là trực tâm của ΔQAB

=>QK\(\perp\)AB

ΔOBD vuông tại O có OB=OD

nên ΔOBD vuông cân tại O

=>\(\widehat{OBD}=45^0\)

Xét ΔKOB vuông tại K có \(\widehat{KBO}=45^0\)

nên ΔKOB vuông cân tại K

Ta có; ΔKOB vuông cân tại K

mà KI là đường trung tuyến

nên KI\(\perp\)OB

mà QK\(\perp\)OB

và QK,KI có điểm chung là K

nên Q,K,I thẳng hàng