cho P = ab(a+b)+2, với a, b nguyên. CMR: nếu giá trị của P chia hết cho 3 thì P chia hết cho 9
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HH
18 tháng 2 2018
Ta có f (x) = ax2 + bx + c chia hết cho 3 với mọi gt của x
Nếu x = 0 => c \(⋮\)3
Nếu x = 1 => a + b + c \(⋮\)3 => a + b \(⋮\)3 => \(\hept{\begin{cases}a⋮3\\b⋮3\end{cases}}\)
Vậy ...
NN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 5 2020
2 chia 3 dư 2 nên để P chia hết cho 3 thì \(Q=ab\left(a+b\right)\) chia 3 dư 1
\(\Rightarrow\) a và b đều chia 3 dư 2
Đặt \(a=3n+2\) ; \(b=3m+2\)
\(P=\left(3m+2\right)\left(3n+2\right)\left(3n+2+3m+2\right)+2\)
\(=\left(3m+2\right)\left(3n+2\right)\left(3\left(m+n\right)+4\right)+2\)
\(=\left[9mn+6\left(m+n\right)+4\right]\left[3\left(m+n\right)+4\right]+2\)
\(=9mn\left[3\left(m+n\right)+4\right]+18\left(m+n\right)^2+36\left(m+n\right)+18\)
Tất cả các số hạng của P đều chia hết cho 9 \(\Rightarrow\) P chia hết cho 9
19 tháng 6 2020
Mình chưa hiểu lắm cái phần a và b đều chia 3 dư 2 , bạn có thể giải thích đc k
27 tháng 11 2021
\(2,\\ PT\Leftrightarrow6x^2+9y^2-\left(x^2+y^2\right)=20412\\ \text{Mà }20412⋮3;6x^2+9y^2⋮3\\ \Leftrightarrow x^2+y^2⋮3\Leftrightarrow x^2⋮3;y^2⋮3\Leftrightarrow x⋮3;y⋮3\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=3a\\y=3b\end{matrix}\right.\left(a,b\in Z\right)\Leftrightarrow5\left(3a\right)^2+8\left(3b\right)^2=20412\)
\(\Leftrightarrow9\left(5a^2+8b^2\right)=20412\\ \Leftrightarrow5a^2+8b^2=2268\)
Mà \(2268⋮3\Leftrightarrow5a^2+8b^2⋮3\Leftrightarrow a^2⋮3;b^2⋮3\Leftrightarrow a⋮3;b⋮3\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=3c\\b=3d\end{matrix}\right.\left(c,d\in Z\right)\Leftrightarrow9\left(5c^2+8d^2\right)=2268\Leftrightarrow5c^2+8d^2=252\)
Mà \(252⋮3\Leftrightarrow5c^2+8d^2⋮3\Leftrightarrow c^2⋮3;d^2⋮3\Leftrightarrow c⋮3;d⋮3\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}c=3k\\d=3q\end{matrix}\right.\left(k,q\in Z\right)\Leftrightarrow9\left(5k^2+8q^2\right)=252\Leftrightarrow5k^2+8q^2=28\)
\(\Leftrightarrow5k^2=28-8q^2\ge0\Leftrightarrow q^2\le\dfrac{28}{8}=3,5\\ \text{Mà }q\in Z\\ \Leftrightarrow-3\le q^2\le3\Leftrightarrow-1\le q\le1\)
\(\forall q=0\Leftrightarrow k^2=\dfrac{28}{5}\left(ktm\right)\\ \forall q=\pm1\Leftrightarrow k=\pm2\\ \Leftrightarrow\left(c;d\right)=\left(6;3\right);\left(-6;-3\right);\left(-6;3\right);\left(6;-3\right)\\ \Leftrightarrow\left(a;b\right)=\left(18;9\right)\left(-18;-9\right);\left(-18;9\right);\left(18;-9\right)\\ \Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(54;27\right);\left(-54;-27\right);\left(54;-27\right);\left(-54;27\right)\)
Với P = ab(a+b) +2 chia hết cho 3.
=> ab(a+b) chia 3 dư 1.
Trường hợp 1: Nếu ab chia hết cho 3 thì ab(a+b) chia hết cho 3 (mâu thuẫn).
Trường hợp 2: Nếu ab không chia hết cho 3:
- Nếu a chia 3 dư 1 và b chia 3 dư 2 thì a + b chia hết cho 3.
=> ab(a+b) chia hết cho 3 (mâu thuẫn).
- Nếu a chia 3 dư 2 và b chia 3 dư 1. Tương tự trường hợp này không thỏa mãn.
- Nếu a chia 3 dư 1 và b chia 3 dư 1:
Đặt a = 3m + 1 và b = 3n +1 (m, n nguyên).
=> ab(a+b) = (3m+1)(3n+1)(3m+1+3n+1) chia 3 dư 1.1.2 = 2 (mâu thuẫn).
- Nếu a chia 3 dư 2 và b chia 3 dư 2 (*):
Đặt a = 3m+2 và b = 3n+2 (m, n nguyên).
=> ab(a+b) = (3m+2)(3n+2)(3m+3n+4), do đó ab(a+b) chia 3 dư 2.2.4 = 16 => ab(a+b) chia 3 dư 1 (thỏa mãn).
Tiếp theo, với a và b ở (*) thì ab(a+b) = (9mn+6m+6n+4)(3m+3n+4) chia 9 dư (6m+6n+4)(3m+3n+4).
Do (6m+6n+4)(3m+3n+4) = 18(m+n)^2+36(m+n) + 16 chia 9 dư 7 => ab(a+b) chia 9 dư 7.
=> ab(a+b)+2 chia hết cho 9 hay P chia hết cho 9.