Question

[Trần Quốc Bảo]

Tìm 2 chữ số tận cùng của các số sau bằng cách xét mod 4 và mod 25:

2022^2009

Answer 1

[Phạm Tuấn Kiệt]

Chúng ta tìm hai chữ số tận cùng của \(2022^{2009}\), tức là tìm phần dư của số này khi chia cho 100 bằng cách xét mod 4 và mod 25, sau đó áp dụng Định lý số dư Trung Quốc (CRT - Chinese Remainder Theorem).

---

Bước 1: Tìm \(2022^{2009} m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\)

Vì:

\(2022 \equiv 2 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\)

Do đó:

\(2022^{2009} \equiv 2^{2009} \left(\right. m o d 4 \left.\right)\)

Nhận xét:

• \(2^{1} \equiv 2 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\)
• \(2^{2} \equiv 0 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\)
• Với \(n \geq 2\), ta có \(2^{n} \equiv 0 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\).

Vì \(2009 \geq 2\), ta suy ra:

\(2022^{2009} \equiv 0 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\)

---

Bước 2: Tìm \(2022^{2009} m o d \textrm{ } \textrm{ } 25\)

Trước tiên, ta tính:

\(2022 \equiv 22 \left(\right. m o d 25 \left.\right)\)

Do đó:

\(2022^{2009} \equiv 22^{2009} \left(\right. m o d 25 \left.\right)\)

Áp dụng Định lý Fermat:

\(22^{20} \equiv 1 \left(\right. m o d 25 \left.\right)\)

Vì \(2009 = 20 \times 100 + 9\), nên:

\(22^{2009} = \left(\right. 22^{20} \left.\right)^{100} \times 22^{9} \equiv 1^{100} \times 22^{9} \equiv 22^{9} \left(\right. m o d 25 \left.\right)\)

Tiếp tục tính \(22^{9} m o d \textrm{ } \textrm{ } 25\):

\(22^{2} = 484 \equiv 9 \left(\right. m o d 25 \left.\right)\) \(22^{4} = \left(\right. 22^{2} \left.\right)^{2} = 9^{2} = 81 \equiv 6 \left(\right. m o d 25 \left.\right)\) \(22^{8} = \left(\right. 22^{4} \left.\right)^{2} = 6^{2} = 36 \equiv 11 \left(\right. m o d 25 \left.\right)\) \(22^{9} = 22^{8} \times 22 \equiv 11 \times 22 = 242 \equiv 17 \left(\right. m o d 25 \left.\right)\)

Vậy:

\(2022^{2009} \equiv 17 \left(\right. m o d 25 \left.\right)\)

---

Bước 3: Giải hệ đồng dư

Chúng ta có hệ:

\(x \equiv 0 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\) \(x \equiv 17 \left(\right. m o d 25 \left.\right)\)

Gọi \(x = 4 k\). Khi đó, thay vào phương trình thứ hai:

\(4 k \equiv 17 \left(\right. m o d 25 \left.\right)\)

Tìm \(k\) thỏa mãn phương trình này:

\(4 k = 25 m + 17\)

Lấy mod 4:

\(0 \equiv 25 m + 17 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\) \(0 \equiv m + 1 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\) \(m \equiv - 1 \equiv 3 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\)

Đặt \(m = 4 n + 3\), thay vào:

\(4 k = 25 \left(\right. 4 n + 3 \left.\right) + 17 = 100 n + 75 + 17 = 100 n + 92\) \(k = 25 n + 23\) \(x = 4 k = 4 \left(\right. 25 n + 23 \left.\right) = 100 n + 92\)

Vậy hai chữ số tận cùng của \(x\) là 92.

---

Kết luận:

Hai chữ số tận cùng của \(2022^{2009}\) là 92.