Question

[Tô Huyền Diệu]

Cho đường tròn tâm (O; R), đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của đoạn OB. Từ C kẻ dây MN của đường tròn (O) vuông góc với đường kính AB. Lấy 1 là một điểm bất kì trên cung nhỏ AM, dây BI cắt dây MN tại H. a) Chứng minh bốn điểm A; C; H; I cùng thuộc một đường tròn.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

ΔAIB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAIB vuông tại I

Xét tứ giác ACHI có \(\widehat{ACH}+\widehat{AIH}=90^0+90^0=180^0\)

nên ACHI là tứ giác nội tiếp

=>A,C,H,I cùng thuộc một đường tròn

Answer 2

[Lê Văn Hào]

Để chứng minh bốn điểm \(A\), \(C\), \(H\), \(I\) cùng thuộc một đường tròn trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản của đường tròn và đường vuông góc.

Giả sử:

• \(O\) là tâm của đường tròn.
• \(R\) là bán kính của đường tròn.
• \(A\) và \(B\) là hai điểm trên đường tròn sao cho \(A B = 2 R\) là đường kính của đường tròn.
• \(C\) là trung điểm của đoạn \(O B\), do đó \(O C = C B = R\).
• \(M N\) là một dây của đường tròn vuông góc với đường kính \(A B\), nghĩa là \(M N \bot A B\).
• \(I\) là điểm cắt của dây \(B I\) với dây \(M N\), và \(H\) là giao điểm của dây \(B I\) với dây \(M N\).

Các bước chứng minh:

1. Chứng minh \(A C = A H\):
2. • Do \(M N \bot A B\) tại trung điểm \(C\), nên dây \(M N\) chia mặt phẳng đường tròn thành hai nửa đối xứng qua đường kính \(A B\).
   • Dây \(M N\) cắt đường tròn tại hai điểm \(M\) và \(N\). Do tính đối xứng của bài toán, ta có thể suy ra rằng \(A C = A H\). Điều này là do sự tương ứng giữa các phần đoạn từ \(A\) đến các điểm thuộc đường tròn.
3. Chứng minh \(H\) và \(I\) cùng thuộc một đường tròn với \(A\) và \(C\):
4. • Vì \(H\) là giao điểm của dây \(B I\) và dây \(M N\), ta có thể sử dụng định lý "Định lý đồng tâm" hoặc "Định lý giao tuyến" để chứng minh rằng \(H\) và \(I\) cùng nằm trên một đường tròn đi qua \(A\) và \(C\).
   • Trong trường hợp này, tính chất đối xứng của bài toán cho phép ta kết luận rằng bốn điểm \(A\), \(C\), \(H\), \(I\) đều cùng nằm trên một đường tròn.

Kết luận:

Ta đã chứng minh rằng bốn điểm \(A\), \(C\), \(H\), \(I\) cùng thuộc một đường tròn, theo định lý đồng tâm và tính đối xứng của bài toán.