\(\frac{a^2+2}{\sqrt{a+1}}>=2\)
Chứng minh biểu thức trên: với mọi a thuộc R
Toán 10
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
21 tháng 7 2019
a)
\(A=\left(\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}\\ =\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\cdot\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}+1}\\ =\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}\)
b) Ta có: \(A=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a}}=1-\frac{1}{\sqrt{a}}\)
Với mọi a>0 và a≠1 ta có \(\sqrt{a}>0\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}>0\)
\(\Rightarrow A=1-\frac{1}{\sqrt{a}}< 1\left(đpcm\right)\)
c)
\(A=1-\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\sqrt{a}=2\Leftrightarrow a=4\left(tm\right)\)
Vậy.......
BA
2 tháng 8 2019
\(1+\left(\frac{a+2\sqrt{a}-1}{1-a}-\frac{2a\sqrt{a}-\sqrt{a}+a}{1-a\sqrt{a}}\right)\cdot\frac{a-\sqrt{a}}{2\sqrt{a}-1}\)
\(=1+\left(\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}-\frac{\sqrt{a}\left(1+\sqrt{a}+a\right)}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)}\right)\cdot\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{2\sqrt{a}-1}\)
\(=1+\left(\frac{\left(1-\sqrt{a}\right)^2}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}-\frac{\sqrt{a}}{\left(1-\sqrt{a}\right)}\right)\cdot\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{2\sqrt{a}-1}\)
\(=1+\left(\frac{\left(1-\sqrt{a}\right)}{\left(1+\sqrt{a}\right)}-\frac{\sqrt{a}}{\left(1-\sqrt{a}\right)}\right)\cdot\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{2\sqrt{a}-1}\)
\(=1+\left(\frac{\left(1-\sqrt{a}\right)^2}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}-\frac{\sqrt{a}\left(1+\sqrt{a}\right)}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}\right)\cdot\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{2\sqrt{a}-1}\)
\(=1+\frac{1-2\sqrt{a}+a-\sqrt{a}-a}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}\cdot\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{2\sqrt{a}-1}\)
\(=1+\frac{1-2\sqrt{a}}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}\cdot\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{2\sqrt{a}-1}\)
\(=1+\frac{1-2\sqrt{a}}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}\cdot\frac{\sqrt{a}\left(1-\sqrt{a}\right)}{1-2\sqrt{a}}\)
\(=1+\frac{\sqrt{a}}{\left(1+\sqrt{a}\right)}\)
\(=\frac{1+\sqrt{a}+\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}\)
\(=\frac{1+2\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}\)
FM
21 tháng 9 2018
DKXD: \(x\ge0;x\ne1\)
\(P=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+1\right)}\right)\left(\frac{x-\sqrt{x}+1}{x+1}\right)\)
\(=\frac{x-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{x-\sqrt{x}+1}{x+1}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-1}{x+1}.\frac{x-\sqrt{x}+1}{x+1}\)
\(=\frac{\sqrt{x}^3+1}{\left(x+1\right)^2}\)
b) \(\sqrt{x}^3+1>0;\left(x+1\right)^2>0\) mọi x
\(\Rightarrow A>0\forall x\ge0;x\ne1\)
K
17 tháng 5 2019
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
e hèm
vãi
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 7 2020
\(P=\frac{a\left(\sqrt{\left(\sqrt{a-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{a-1}-1\right)^2}\right)}{\sqrt{\left(a-1\right)^2}}\)
\(=\frac{a\left(\sqrt{a-1}+1+\sqrt{a-1}-1\right)}{a-1}=\frac{2a\sqrt{a-1}}{a-1}=\frac{2a}{\sqrt{a-1}}\)
\(P-4=\frac{2a}{\sqrt{a-1}}-4=\frac{2\left(a-2\sqrt{a-1}\right)}{\sqrt{a-1}}=\frac{2\left(\sqrt{a-1}-1\right)^2}{\sqrt{a-1}}\ge0\)
\(\Rightarrow P\ge4\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 9 2019
ĐKXĐ: \(x\ge0;x\ne1\)
\(A=\left(\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\frac{x+\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\right).\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\left(\frac{x+2+x-\sqrt{x}-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{x}-1}\right)\)
\(=\frac{\left(x-2\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}.\frac{2}{\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}\)
Ta có \(x\ge0\Rightarrow x+\sqrt{x}\ge0\Rightarrow x+\sqrt{x}+1>0\)
\(\Rightarrow A=\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}>0\)
Mặt khác cũng do \(x+\sqrt{x}+1\ge1\Rightarrow P\le\frac{2}{1}=2\)
\(\Rightarrow A_{max}=2\) khi \(x=0\)