Question

[Phuongg Ha]

kẻ hình và giải giúp mình với ( câu a k cm góc nội tiếp nhé )

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (D) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>CE\(\perp\)AB tại E

Xét (D) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBFC vuông tại F

=>BF\(\perp\)AC tại F

Xét tứ giác AEGF có \(\widehat{AEG}+\widehat{AFG}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEGF là tứ giác nội tiếp

=>A,E,G,F cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (D) có

ΔBIC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBIC vuông tại I

Xét ΔIBC vuông tại I có IH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BI^2\)

c: Vì B,E,F,C cùng thuộc (D)

nên BEFC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BEF}+\widehat{BCF}=180^0\)

mà \(\widehat{BEF}+\widehat{AEF}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\)

Xét ΔAEC vuông tại E có \(cosEAC=\dfrac{AE}{AC}\)

=>\(\dfrac{AE}{AC}=cos60=\dfrac{1}{2}\)

Xét ΔAEF và ΔACB có

\(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\)

\(\widehat{EAF}\) chung

Do đó: ΔAEF~ΔACB

=>\(\dfrac{EF}{CB}=\dfrac{AE}{AC}\)

=>\(\dfrac{EF}{6}=\dfrac{1}{2}\)

=>EF=3(cm)

Answer 2

[Thành Công]

a) Chứng minh BEC = BFC = 90° ; Từ đó suy ra 4 điểm A, E, G, F cùng thuộc một đường tròn.

Chứng minh BEC = BFC = 90°:

Vì BC là đường kính của đường tròn tâm D, nên E và F là hai điểm nằm trên đường tròn.

Theo tính chất của góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, ta có:

∠BEC = ∠BFC = 90°

Suy ra 4 điểm A, E, G, F cùng thuộc một đường tròn:

Xét tứ giác AEGF có:

∠AEG = 90° (do ∠BEC = 90°)

∠AFG = 90° (do ∠BFC = 90°)

Tứ giác AEGF có hai góc đối nhau vuông, nên AEGF là tứ giác nội tiếp.

Vậy 4 điểm A, E, G, F cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi I là giao điểm của (D) và AH (I nằm giữa A và G). Chứng minh BI² = BH.BC

Xét △BIC có BI là đường cao, ta có:

BI² = BH.BC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

c) Trong trường hợp BAC = 60° và BC = 6cm. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ∆AEF.

Tính BC:

Vì △ABC có ∠BAC = 60° và AB = AC, nên △ABC là tam giác đều. ⇒ AB = AC = BC = 6cm

Tính AE và AF:

Vì E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên AB và AC, nên AE và AF lần lượt là đường cao của △ABC.

Trong tam giác đều, đường cao cũng là đường trung tuyến, nên AE = AF = (1/2)AB = (1/2)AC = 3cm

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp △AEF:

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp △AEF.

Theo công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta có: R = (AE.AF.EF) / (4.S△AEF)

Trong đó: EF = BC = 6cm (do AEGF là hình chữ nhật)

S△AEF = (1/2).AE.AF.sin∠EAF = (1/2).3.3.sin60° = (9√3)/4 cm²

Thay số vào công thức, ta được:

R = (3.3.6) / (4.(9√3)/4) = 2√3 cm

Kết luận:

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp △AEF là 2√3 cm.