Cho đường tròn $(O;R)$ và dây $MN$ cố định $(MN<2R)$. Kẻ đường kính $AB$ vuông góc với dây $MN$ tại $E$. Lấy điểm $C$ thuộc dây $MN$, ($C$ khác $M,N,E)$. Đường thẳng $BC$ cắt đường tròn $(O;R)$ tại điểm $K$ ($K$ khác $B$).
a) Chứng minh $AKCE$ là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh $BM^2=BK.BC$.
c) Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $AK, \, MN;\,D$ là giao điểm của hai đường thẳng $AC$ và $BI.$...
Đọc tiếp
Cho đường tròn $(O;R)$ và dây $MN$ cố định $(MN<2R)$. Kẻ đường kính $AB$ vuông góc với dây $MN$ tại $E$. Lấy điểm $C$ thuộc dây $MN$, ($C$ khác $M,N,E)$. Đường thẳng $BC$ cắt đường tròn $(O;R)$ tại điểm $K$ ($K$ khác $B$).
a) Chứng minh $AKCE$ là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh $BM^2=BK.BC$.
c) Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $AK, \, MN;\,D$ là giao điểm của hai đường thẳng $AC$ và $BI.$ Chứng minh điểm $C$ cách đều ba cạnh của tam giác $DEK$.
a: Xét (O) có
ΔAKB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAKB vuông tại K
=>BK\(\perp\)AI tại K
Xét tứ giác AKCE có \(\widehat{AKC}+\widehat{AEC}=90^0+90^0=180^0\)
nên AKCE là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔBEC vuông tại E và ΔBKA vuông tại K có
\(\widehat{EBC}\) chung
Do đó: ΔBEC~ΔBKA
=>\(\dfrac{BE}{BK}=\dfrac{BC}{BA}\)
=>\(BE\cdot BA=BK\cdot BC\)(2)
Xét (O) có
ΔBNA nội tiếp
BA là đường kính
Do đó: ΔBNA vuông tại N
ΔOMN cân tại O
mà OE là đường cao
nên E là trung điểm của MN
Xét ΔBMN có
BE là đường cao
BE là đường trung tuyến
Do đó: ΔBMN cân tại B
=>BM=BN(1)
Xét ΔBNA vuông tại N có NE là đường cao
nên \(BN^2=BE\cdot BA\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(BM^2=BK\cdot BC\)
c: Xét ΔIAB có
BK,IE là các đường cao
BK cắt IE tại C
Do đó: C là trực tâm của ΔIAB
=>AC\(\perp\)IB tại D
Xét tứ giác IKCD có \(\widehat{IKC}+\widehat{IDC}=90^0+90^0=180^0\)
nên IKCD là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BECD có \(\widehat{BEC}+\widehat{BDC}=90^0+90^0=180^0\)
nên BECD là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\widehat{DKC}=\widehat{DIC}\)(IKCD nội tiếp)
\(\widehat{EKC}=\widehat{EAC}\)(AECK nội tiếp)
mà \(\widehat{DIC}=\widehat{EAC}\left(=90^0-\widehat{DBA}\right)\)
nên \(\widehat{DKC}=\widehat{EKC}\)
=>KC là phân giác của góc EKD
Ta có: \(\widehat{KEC}=\widehat{KAC}\)(AECK nội tiếp)
\(\widehat{DEC}=\widehat{DBC}\)(DCEB nội tiếp)
mà \(\widehat{KAC}=\widehat{DBC}\left(=90^0-\widehat{AID}\right)\)
nên \(\widehat{KEC}=\widehat{DEC}\)
=>EC là phân giác của góc KED
Xét ΔKED có
EC,KC là các đường phân giác
EC cắt KC tại C
Do đó: C là tâm đường tròn nội tiếp ΔKED
=>C cách đều ba cạnh của ΔKED