Cho khối hộp hình chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy hình vuông, $AC=2\sqrt{3}a$, số đo của góc nhị diện $[C',BD,C]$ bằng $60^\circ $. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng bao nhiêu?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
10 tháng 3 2019
Đáp án B
Giả độ dài các cạnh của khối hộp lần lượt là a; b; c khi đó T = 2ab + 2bc + 2ca = 36.
⇔ a b + b c + c a = 18 . Mặt khác A C ' = A B 2 + A D 2 + A A ' 2 = a 2 + b 2 + c 2 = 6
Khi đó a 2 + b 2 + c 2 = 36 a b + b c + c a = 18 ⇒ a + b + c 2 = 72 a b + b c + c a = 18 ⇔ a + b + c = 6 2 b a + c + a c = 18
Ta có: V = a b c = b . 18 - b a + c = b 18 - b 6 2 - b = b 3 - 6 2 b 2 + 18 b = f b
Xét f b = b 3 - 6 2 b 2 + 18 b , 0 < b < 6 2 ta có : f ' b = 3 b 2 - 12 2 b + 18 = 0 ⇔ b 2 - 4 b 2 + 6 = 0
⇔ [ b = 3 2 b = 3 ⇒ f 3 2 = 0 ; f 2 = 8 2 ⇒ M a x ( 0 ; 6 2 ) f b = 8 2 .
Gọi cạnh đáy hình vuông là x.
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vuông tại B, ta có: AC² = AB² + BC² (2√3a)² = x² + x² 12a² = 2x² x² = 6a² x = a√6 Gọi O là giao điểm của AC và BD. Góc nhị diện [C', BD, C] là góc giữa đường thẳng C'O và mặt phẳng (ABCD).
Kẻ C'H vuông góc với BD tại H. Khi đó góc C'OH = 60°. Trong tam giác vuông COD, ta có: OC = (1/2)AC = (1/2) * 2√3a = √3a
Trong tam giác vuông C'OH, ta có: tan(C'OH) = C'H / OH tan(60°) = C'H / (OC/2) (vì H là trung điểm OB) √3 = C'H / (√3a / 2) C'H = (3a) / 2 Vậy chiều cao của khối hộp là C'C = C'H = (3a) / 2
Thể tích khối hộp V = diện tích đáy * chiều cao V = (a√6)² * (3a/2) = 6a² * (3a/2) = 9a³ Kết luận: Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho là 9a³.