Chứng minh rằng A chia hết cho 2023
Cho A= 1+2022+2022^2+2022^3+2022^4+2022^5+2022^6+2022^7
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 11 2023
Lời giải:
\(A=2.2022^{2023}+2(1^{2023}+2^{2023}+3^{2023}+...+1010^{2023}+1011^{2023}+1012^{2023}+...+2021^{2023})\)
\(=2.2022^{2023}+2[(1^{2023}+2021^{2023})+(2^{2023}+2019^{2023})+...+(1010^{2023}+1012^{2023})+1011^{2023}]\)
\(=2.2022^{2023}+2.1011^{2023}+2[(1^{2023}+2021^{2023})+(2^{2023}+2019^{2023})+...+(1010^{2023}+1012^{2023})]\)
Dễ thấy: $2.2022^{2023}\vdots 2022; 2.1011^{2023}=2022.1011^{2023}\vdots 2022$
Đối với biểu thức trong ngoặc vuông thì: Nhớ rằng với mọi $n$ lẻ thì $a^n+b^n\vdots a+b$ nên $1^{2023}+2021^{2023}\vdots 2022; 2^{2023}+2019^{2023}\vdots 2022;...; 1010^{2023}+1012^{2023}\vdots 2022$
$\Rightarrow 2[(1^{2023}+2021^{2023})+(2^{2023}+2019^{2023})+....+(1010^{2023}+1012^{2023})]\vdots 2022$
Do đó $A\vdots 2022$
UP
1
2 tháng 1 2024
Tham khảo
\(\text{+)}\)Ta có:\(5\equiv-1\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow5^{2022}\equiv\left(-1\right)^{2022}\left(mod3\right)\left(1\right)\)
\(\text{+)}\)Ta có:\(2\equiv-1\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow2^{2023}\equiv\left(-1\right)^{2023}\left(mod3\right)\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow5^{2022}+5^{2023}\equiv0\left(mod3\right)\)
Vậy...
T
3 tháng 1 2024
\(A=3^{2022}-2^{2022}+3^{2020}-2^{2020}\\=(3^{2022}+3^{2020})-(2^{2022}+2^{2020})\\=3^{2020}\cdot(3^2+1)-2^{2020}\cdot(2^2+1)\\=3^{2020}\cdot10-2^{2019}\cdot2\cdot5\\=3^{2020}\cdot10-2^{2019}\cdot10\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}3^{2020}\cdot10⋮10\\2^{2019}\cdot10⋮10\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow3^{2020}\cdot10-2^{2019}\cdot10⋮10\)
hay \(A⋮10\) (đpcm)
\(\text{#}Toru\)
17 tháng 3 2023
\(B=2021\cdot1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot2022\cdot\left(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2022}\right)⋮2021\)
HD
So sánh
A = \(\dfrac{2022^{2023}+1}{2022^{2024}+1}\) và B = \(\dfrac{2022^{2022}+1}{2022^{2023}+1}\)
2
4 tháng 7 2023
Trước hết ta phải chứng minh \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+1}{b+1}\) (a, b ϵ N; a < b).
Thật vậy, \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\left(b+1\right)}{b\left(b+1\right)}=\dfrac{a+ab}{b^2+b}\) và \(\dfrac{a+1}{b+1}=\dfrac{\left(a+1\right)b}{\left(b+1\right)b}=\dfrac{ab+b}{b^2+b}\).
Mà theo giả thuyết là a < b nên \(\dfrac{a+ab}{b^2+b}< \dfrac{ab+b}{b^2+b}\), suy ra \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+1}{b+1}\) (a, b ϵ N; a < b).
Từ đây ta có:
\(B=\dfrac{2022^{2022}+1}{2022^{2023}+1}=\dfrac{2022^{2023}+2022}{2022^{2024}+2022}=\dfrac{2022^{2023}+2021+1}{2022^{2024}+2021+1}\)
Đặt \(A_1=\dfrac{2022^{2023}+2}{2022^{2024}+2}=\dfrac{2022^{2023}+1+1}{2022^{2024}+1+1}\), rõ ràng \(A_1>A\).
Đặt \(A_2=\dfrac{2022^{2023}+3}{2022^{2024}+3}=\dfrac{2022^{2023}+2+1}{2022^{2024}+2+1}\), rõ ràng \(A_2>A_1\).
...
Đặt \(A_{2020}=\dfrac{2022^{2023}+2021}{2022^{2024}+2021}=\dfrac{2022^{2023}+2020+1}{2022^{2024}+2020+1}\), rõ ràng \(A_{2020}>A_{2019}\) và \(B>A_{2020}\).
Suy ra \(B>A_{2020}>A_{2019}>...>A_2>A_1>A\). Vậy A < B.
4 tháng 7 2023
Ta có A = \(\dfrac{2022^{2023}}{2022^{2024}}=\dfrac{1}{2022}\) ; B = \(\dfrac{2022^{2022}}{2022^{2023}}=\dfrac{1}{2022}\)
Mà \(\dfrac{1}{2022}=\dfrac{1}{2022}\)
Vậy A = B
A = 1 + 2022 + 20222 + 20223 + 20224 + 20225 + 20226 + 20227
A =(1 + 2022) +(20222 + 20223) + (20224 + 20225) + (20226 + 20227)
A =2023 + 20222( 1 + 2022 ) + 20224.( 1 + 2022 ) + 20226( 1 + 2022 )
A = 2023 + 20222 . 2023 + 20224 . 2023 + 20226 . 2023
A = 2023 . ( 1 + 20222 + 20224 + 20226 )
Vậy A ⋮ 2023
A = 1 + 2022 + 20222 + 20223 + 20224 + 20225 + 20226 + 20227
A =(1 + 2022) +(20222 + 20223) + (20224 + 20225) + (20226 + 20227)
A =2023 + 20222( 1 + 2022 ) + 20224.( 1 + 2022 ) + 20226( 1 + 2022 )
A = 2023 + 20222 . 2023 + 20224 . 2023 + 20226 . 2023
A = 2023 . ( 1 + 20222 + 20224 + 20226 )
Vậy A ⋮ 2023