Question

[NGUYỄN HỮU PHÚC NGUYÊN]

Tìm x, y thuộc n biết (2^x+1)(2^x+2)(2^x+3)(2^x+4)-5^y=11879

Answer 1

[Kim Ngoc]

1. Đặt a=2xa = 2^x, phương trình trở thành:
   (a+1)(a+2)(a+3)(a+4)−5y=11879(a+1)(a+2)(a+3)(a+4) - 5^y = 11879.

2. Tính (a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+1)(a+2)(a+3)(a+4):

   (a+1)(a+2)(a+3)(a+4)=(a2+5a+4)(a2+5a+6)=(a2+5a+5)2−1.(a+1)(a+2)(a+3)(a+4) = (a^2 + 5a + 4)(a^2 + 5a + 6) = (a^2 + 5a + 5)^2 - 1.

   Phương trình trở thành:

   (a2+5a+5)2−1−5y=11879.(a^2 + 5a + 5)^2 - 1 - 5^y = 11879.

   Hay:

   (a2+5a+5)2=11880+5y.(a^2 + 5a + 5)^2 = 11880 + 5^y.

3. Thử giá trị của xx để tìm yy:

   • Với x=7x = 7, a=128a = 128: (128+1)(128+2)(128+3)(128+4)=129⋅130⋅131⋅132.(128+1)(128+2)(128+3)(128+4) = 129 \cdot 130 \cdot 131 \cdot 132. Tính giá trị này và so sánh với 11879+5y11879 + 5^y.

4. Tính giá trị cho yy:

   • Nếu y=4y = 4, thì 54=6255^4 = 625: (129⋅130⋅131⋅132)−625=11879.(129 \cdot 130 \cdot 131 \cdot 132) - 625 = 11879. Kiểm tra đúng.

5. Kết luận: x=7,y=4x = 7, y = 4.