CMR: (y-z)^2+(z-x)^2+(x-y)^2=(y+z-2x)^2+(z+x-2y)^2+(y+x-2z)^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 7 2023
Phân tích vế trái ta được: 2(x2 + y2 + z2 − (xy + yz + zx)
Phân tích vế phải ta được: 6(x2 + y2 + z2 − (xy + yz + zx)
Vì VT = VP nên VP - VT=0
→ 4(x2 + y2 + z2 − (xy + yz + zx)) = 0
→2(2 (x2 + y2 + z2 − (xy + yz + zx))) = 0
→2((x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2) = 0
→(x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = 0
→(x − y)2 = 0; (y − z)2 = 0; (z − x)2 = 0
→x = y = z
HN
28 tháng 4 2017
Ta đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x^2}=a\\\dfrac{1}{y^2}=b\\\dfrac{1}{z^2}=c\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\sqrt{abc}=abc=1\)
Ta có: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{ab}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{bc}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{ca}+1}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{ab}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}+1}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\sqrt{ca}+1}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{ab}+1}+\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{ba}+1+\sqrt{a}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{ab}+\sqrt{a}}=1\)
Quay lại bài toán, sau khi đặt bài toán trở thành:
\(P=\dfrac{1}{2b+a+3}+\dfrac{1}{2c+b+3}+\dfrac{1}{2a+c+3}\)
\(=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(b+c\right)+\left(c+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(c+a\right)+\left(a+1\right)+2}\)
\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{ab}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{bc}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{ca}+1}\right)=\dfrac{1}{2}\)
HN
28 tháng 4 2017
Cái đó t cố tình bỏ đấy. B phải tự làm chứ chẳng lẽ t làm hết??
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 6 2021
BĐT bên trái rất đơn giản, chỉ cần áp dụng:
\(x^3+x^3+y^3\ge3x^2y\) ; tương tự và cộng lại và được
Ta chứng minh BĐT bên phải:
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4+2\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
\(\Leftrightarrow2\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{8}\left(x+y+z\right)^4\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\)
Thật vậy, ta có:
\(\dfrac{1}{8}\left(x+y+z\right)^4=\dfrac{1}{8}\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]^2\)
\(\ge\dfrac{1}{8}.4\left(x^2+y^2+z^2\right).2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)+xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;1\right)\) và hoán vị
T
26 tháng 10 2019
Bài này dùng Cauchy ngược dấu:
\(\Sigma\frac{2x^2}{x+y^2}=\Sigma\frac{2x\left(x+y^2\right)-2xy^2}{x+y^2}=2\left(x+y+z\right)-2.\Sigma\frac{xy^2}{x+y^2}\)
Từ đây ta có thể quy bđt vế chứng minh: \(\Sigma\frac{xy^2}{x+y^2}\le\frac{x+y+z}{2}\)
Ta có: \(VT\le\Sigma\frac{xy^2}{2\sqrt{xy^2}}=\Sigma\frac{\sqrt{xy.y}}{2}\le\frac{xy+yz+zx+x+y+z}{4}\)
Như vậy cần chứng minh: \(xy+yz+zx\le x+y+z\)
Ta có: \(VT=\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}\le x+y+z\)
Từ đây có đpcm:)
:]