chứng minh \(\frac{x-y}{x+y}+\frac{y-z}{y+z}+\frac{z-x}{z+x}=0\)\(0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 12 2016
Đặt: \(\frac{x-y}{z}+\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}=M\)
Ta có:
\(M\cdot\frac{z}{x-y}=1+\frac{z}{x-y}\cdot\left(\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}\right)=1+\frac{z}{x-y}\cdot\frac{y^2-yz+xz-x^2}{xy}\)
\(=1+\frac{z}{x-y}\cdot\frac{\left(x-y\right)\left(z-x-y\right)}{xy}=1+\frac{2z^2}{xyz}=1+\frac{2z^3}{xyz}\) (1)
Tương tự ta cũng có:
\(M\cdot\frac{x}{y-z}=1+\frac{2x^3}{xyz}\) (2)
\(M\cdot\frac{y}{z-x}=1+\frac{2y^3}{xyz}\) (3)
Từ (1);(2);(3) suy ra
\(M\cdot\left(\frac{z}{x-y}+\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}\right)=3+\frac{2\left(x^3+y^3+z^3\right)}{xyz}\)
Mà \(x+y+z=0\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Nên:
\(M\cdot\left(\frac{z}{x-y}+\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}\right)=3+\frac{2\cdot3xyz}{xyz}=9\)
=>đpcm
10 tháng 2 2019
đặt \(\frac{x-y}{z}=a;\frac{y-z}{x}=b;\frac{z-x}{y}=c\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{z}{x-y}=\frac{1}{a};\frac{x}{y-z}=\frac{1}{b};\frac{y}{z-x}=\frac{1}{c}\)
Ta có : \(A=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(A=1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+1+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+1=3+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\)
Ta có : \(\frac{b+c}{a}=\left(b+c\right)\frac{1}{a}=\left(\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}\right)\frac{z}{x-y}=\frac{y^2-yz+xz-x^2}{xy}.\frac{z}{x-y}=\frac{\left(y-x\right)\left(x+y-z\right)}{xy}.\frac{z}{x-y}=\frac{\left(z-x-y\right)z}{xy}=\frac{2z^2}{xy}\)vì x + y + z = 0 \(\Rightarrow\)z = -x - y
Tương tự : \(\frac{a+c}{b}=\frac{2x^2}{yz}\); \(\frac{a+b}{c}=\frac{2y^2}{xz}\)
\(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{2z^2}{xy}+\frac{2x^2}{yz}+\frac{2y^2}{xz}=\frac{2\left(x^3+y^3+z^3\right)}{xyz}=\frac{2.3xyz}{xyz}=6\)( vì x + y + z = 0 \(\Rightarrow\)x3 + y3 + z3 = 3xyz )
Vậy A = 3 + 6 = 9
7 tháng 6 2021
\(\dfrac{x-y}{z^2+1}=\dfrac{x-y}{z^2+xy+yz+zx}=\dfrac{x-y}{z\left(z+y\right)+x\left(z+y\right)}=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{y-z}{x^2+1}=\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\);\(\dfrac{z-x}{y^2+1}=\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(y-z\right)\left(y+z\right)+\left(z-x\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\dfrac{x^2-y^2+y^2-z^2+z^2-x^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=0\)(đpcm)
23 tháng 11 2019
Áp dụng liên tiếp 1 lần BĐT AM-GM :
\(\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}}\ge3\sqrt[3]{\frac{2\sqrt{xy}\cdot2\sqrt{yz}\cdot2\sqrt{zx}}{xyz}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{8xyz}{xyz}}=3\sqrt[3]{8}=6\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
6 tháng 8 2020
Ta có
\(\frac{x+y}{x+y+z}>\frac{x+y}{x+y+z+t};\frac{y+z}{y+z+t}>\frac{y+z}{x+y+z+t};\frac{z+t}{z+t+x}>\frac{z+t}{x+y+z+t};\frac{t+x}{t+x+y}>\frac{t+x}{x+y+z+t}\)
\(\Rightarrow LHS>2\) ( điều phải chứng minh )
A
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 5 2020
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Hoặc:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2\left(y+z\right)}{4\left(y+z\right)}}=x\)
\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\) ; \(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
23 tháng 11 2016
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=0\) hoặc \(y+z=0\) hoặc \(z+x=0\)
=> ...............................................
toán lớp mấy vậy?
Lop 8 a!