cm
\(M=\frac{a^3}{24}+\frac{a^2}{8}+\frac{a}{12}\)là 1 số nguyên khi a chẵn)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CQ
0
TN
0
12 tháng 9 2018
a, Ta có: \(\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+\frac{n}{3}+\frac{7n}{15}\)
\(=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n\)
Chứng minh \(n^5-n⋮5\Rightarrow\frac{n^5-n}{5}\in Z\)
\(n^3-n⋮3\Rightarrow\frac{n^3-n}{3}\in Z\)
\(\Rightarrow\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n\in Z\)
=> Đpcm
b, Tương tự dùng tính chất chia hết
TM
27 tháng 9 2017
\(\frac{n}{12}+\frac{n^2}{8}+\frac{n^3}{24}=\frac{2n+3n^2+n^3}{24}=\frac{n^3+2n^2+n^2+2n}{24}=\frac{n^2\left(n+2\right)+n\left(n+2\right)}{24}\)
\(=\frac{\left(n^2+n\right)\left(n+2\right)}{24}=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\)
Do n chẵn nên n=2k (k nguyên) => n+2=2k+2=2(k+1) => n(n+2)=2k.2(k+1)=4k(k+1)
k(k+1) là 2 số nguyên liên tiếp, trong đó có ít nhất 1 số chẵn nên k(k+1) chia hết cho 2 => 4k(k+1) chia hết cho 8
=>n(n+2) chia hết cho 8=>n(n+1)(n+2) chia hết cho 8 (1)
Mặt khác n;n+1;n+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên trong đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3 (tự chứng minh hoặc xem cách chứng minh trên mạng nhé)
=>n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) và (3;8)=1 => n(n+1)(n+2) chia hết cho 3.8=24
=>\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\) nguyên => đpcm
9 tháng 9 2017
\(\frac{a^3+3a^2+2a}{24}=\frac{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}{24}\)
de thay h 3 so tu nhien lien tiep chia het cho 6
do a la so tu nhien chan nen hien nhien a phai chia het cho 4
\(\Rightarrow\)chia het cho 24\(\Rightarrow\) A la so nguyen
A=a^3/24+a^2/8+a/12
= (a^3+ 3 a^2+ 2) /24 = a(a+1)(a+2)/24
ta cần CM a(a+1)(a+2) chia hết cho 24
để dễ hiểu mình sẽ trình bày cụ thể, còn nếu muốn rút gọn thì b có thể tự trình bày lại nhá :D
do a chắn => a=4k hoặc a=4k+2 (k thuộc Z)
TH1: a=4k; a+2=4k+2
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 4*2=8
và trong 3 số a, a+1, a+2 có 1 số chia hết cho 3 mà (3;8)=1
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 24
TH2: a=4k+2, a+2= 4k+4 (k thuộc Z)
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 4*2=8
và trong 3 số a, a+1, a+2 có 1 số chia hết cho 3 mà (3;8)=1
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 24
vậy A=a^3/24+a^2/8+a/12 luôn có giá trị nguyên
M = a^3+3a^2+2a/24
= (a^3+a^2)+(2a^2+2a)/24
= (a+1).(a^2+2a)/24 = a.(a+1).(a+2)/24
a chẵn nên a có dạng 2k ( k thuộc Z )
Khi đó : M = 2k.(2k+1).(2k+2)/24 = k.(2k+1).(k+1)/6
Đặt k.(k+1).(2k+1) = B
Ta thấy : k;k+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 =>B chia hết cho 2 (1)
Nếu k chia hết cho 3 => B chia hết cho 3
Nếu k chia 3 dư 1 => 2k+1 chia hết cho 3 => B chia hết cho 3
Nếu k chia 3 dư 2 => k+1 chia hết cho 3 => B chia hết cho 3
Vậy B chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) => B chia hết cho 6 ( vì 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau )
=> M = B/6 là 1 số nguyên