Tìm số nguyên n sao cho (n-2023).(n-2024).(n-2025) là số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VT
1
PN
1
21 tháng 11 2023
Xét \(n>3\), khi đó \(n⋮̸3\), dẫn đến \(n^{2024}\) chia 3 dư 1 (số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 nhưng do n không chia hết cho 3 nên chỉ có thể suy ra \(n^{2024}\) chia 3 dư 1)
Suy ra \(n^{2024}+1\) chia 3 dư 2. Do đó nó không thể là số chính phương.
Xét \(n=2\), khi đó \(2^{2024}+1=\left(2^{1012}\right)^2+1>\left(2^{1012}\right)^2\)
Đồng thời \(\left(2^{1012}\right)^2+1< \left(2^{1012}\right)^2+2.2^{1012}+1=\left(2^{1012}+1\right)^2\)
Do đó \(\left(2^{1012}\right)^2< 2^{2024}+1< \left(2^{1012}+1\right)^2\), hay \(2^{2024}+1\) không thể là số chính phương.
Xét \(n=3\), khi đó \(3^{2024}+1=\left(3^{1012}\right)^2+1>\left(3^{1012}\right)^2\)
Và \(\left(3^{1012}\right)^2+1< \left(3^{1012}\right)^2+2.3^{1012}+1=\left(3^{1012}+1\right)^2\)
Do đó \(\left(3^{1012}\right)^2< 3^{2024}+1< \left(3^{1012}+1\right)^2\), hay \(3^{2024}+1\) không thể là số chính phương.
Vậy, với mọi số nguyên tố \(n\) thì \(n^{2024}+1\) không thể là số chính phương.
BV
Tìm số dư trong phép chia (2023\(\left(2023^{2024}+2024^{2025}+2025^{2026}\right)^{10}\)chia cho 111
0
XO
11 tháng 6 2021
a) Đặt A = 20184n + 20194n + 20204n
= (20184)n + (20194)n + (20204)n
= (....6)n + (....1)n + (....0)n
= (...6) + (...1) + (...0) = (....7)
=> A không là số chính phương
b) Đặt 1995 + n = a2 (1)
2014 + n = b2 (2)
a;b \(\inℤ\)
=> (2004 + n) - (1995 + n) = b2 - a2
=> b2 - a2 = 9
=> b2 - ab + ab - a2 = 9
=> b(b - a) + a(b - a) = 9
=> (b + a)(b - a) = 9
Lập bảng xét các trường hợp
| b - a | 1 | 9 | -1 | -9 | 3 | -3 |
| b + a | 9 | 1 | -9 | -1 | -3 | 3 |
| a | -4 | 4 | 4 | -4 | -3 | 3 |
| b | 5 | 5 | -5 | -5 | 0 | 0 |
Từ a;b tìm được thay vào (1)(2) ta được
n = -1979 ; n = -2014 ;
BV
0
11 tháng 4 2023
1. Giải:
Do \(5x+13B\in\left(2x+1\right)\Rightarrow5x+13⋮2x+1.\)
\(\Rightarrow2\left(5x+13\right)⋮2x+1\Rightarrow10x+26⋮2x+1.\)
\(\Rightarrow5\left(2x+1\right)+21⋮2x+1.\)
Do 5(2x+1)⋮2x+1⇒ Ta cần 21⋮2x+1.
⇒ 2x+1 ϵ B(21)=\(\left\{1;3;7;21\right\}.\)
Ta có bảng:
| 2x+1 | 1 | 3 | 7 | 21 |
| x | 0 | 1 | 3 | 10 |
| TM | TM | TM | TM |
Vậy xϵ\(\left\{0;1;3;10\right\}.\)
2. Giải:
Do (2x-18).(3x+12)=0.
⇒ 2x-18=0 hoặc 3x+12=0.
⇒ 2x =18 3x =-12.
⇒ x =9 x =-4.
Vậy xϵ\(\left\{-4;9\right\}.\)
3. S= 1-2-3+4+5-6-7+8+...+2021-2022-2023+2024+2025.
S= (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+...+(2021-2022-2023+2024)+2025 Có 506 cặp.
S= 0 + 0 + ... + 0 + 2025.
⇒S= 2025.
MD
2
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
13 tháng 11 2023
Dùng phương pháp phản chứng em nhé.
Giả sử tồn tại một số chính phương n thỏa mãn đề bài khi đó
Vì n là số chính phương nên n chia 3 chỉ có thể dư 1 hoặc không dư (tính chất của số chính phương)
Mặt khác ta lại có: Tổng các chữ số của n là 2024
2024 : 3 = 674 dư 2
⇒ A : 3 dư 2 (trái với giải thiết)
Vậy điều giả sử là sai nên không tồn tại số tự nhiên n nào thỏa mãn đề bài.
Kết luận n \(\in\) \(\varnothing\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 11 2023
Lời giải:
Tổng các chữ số của $n$ là $2024$. Ta có $2+0+2+4=8$ nên $n$ chia cho $9$ dư $8$.
Mà 1 số chính phương khi chia cho $9$ dư $0,1,4,7$ nên không tồn tại $n$ thỏa mãn đề.
7 tháng 10 2023
Thật may câu này tương tự câu cuối trong đề thi HSG 9 tỉnh mình năm 2021-2022 nên biết làm :)) (bài lúc đó y chang thế này chỉ khác là số 2021 với 2022)
Trước tiên ta sẽ chứng minh \(P\left(P\left(x\right)+x\right)=P\left(x\right)P\left(x+1\right)\). Thật vậy, ta có:
\(VP=P\left(x\right)P\left(x+1\right)\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)\left[\left(x+1\right)^2+m\left(x+1\right)+n\right]\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)\left(x^2+2x+1+mx+m+n\right)\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)\left[\left(x^2+mx+n\right)+2x+m+1\right]\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+m\left(x^2+mx+n\right)+x^2+mx+n\)
\(=\left[\left(x^2+mx+n\right)+x\right]^2+m\left(x^2+mx+n+x\right)+n\)
\(=\left[P\left(x\right)+x\right]^2+m\left[P\left(x\right)+x\right]+n\)
\(=P\left(P\left(x\right)+x\right)=VT\)
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Từ \(P\left(P\left(x\right)+x\right)=P\left(x\right)P\left(x+1\right)\), chọn \(x=2023\), ta được:
\(P\left(P\left(2023\right)+2023\right)=P\left(2023\right)P\left(2024\right)\)
\(\Rightarrow Q\left(x\right)\) có nghiệm nguyên là \(x=P\left(2023\right)+2023\) (đpcm)
Đặt `n - 2024=x.` Biểu thức là: `(x + 1)x(x - 1)`
Tích của `3` số nguyên liên tiếp là:
`(x - 1)x(x+1) = x(x^2 - 1) = x^3 - x`
Tích này là số chính phương, `x` phải `=0` vì tích của ba số nguyên liên tiếp chỉ là số chính phương khi một trong ba số đó bằng `0`
`-> x = 0`
Vậy: `n - 2024 = 0` nghĩa là: `n = 2024`