\(a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1}.\)
TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC TRÊN VỚI
\(a^2+b^2=1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 8 2019
a) \(\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1\)
\(=\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\left(2\sqrt{a}+1\right)+1\)
\(=\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-2\sqrt{a}-1+1\)
\(=\frac{a^2-\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-2\sqrt{a}\)
b) \(\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-2\sqrt{a}=2\)
\(\Leftrightarrow a^2+\sqrt{a}.\left(a-\sqrt{a}+1\right)-2\sqrt{a}.\left(a-\sqrt{a}+1\right)=2\left(a-\sqrt{a}+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2\sqrt{a}.a+2a-\sqrt{a}-2a=2a-2\sqrt{a}+2\)
\(\Leftrightarrow a^2-2\sqrt{a}.a+2a-\sqrt{a}-2a=-2\sqrt{a}+2\)
\(\Leftrightarrow-2\sqrt{a}.a+2a-\sqrt{a}-2a=-2\sqrt{a}+2-a^2\)
\(\Leftrightarrow-2\sqrt{a}.a-\sqrt{a}=-2\sqrt{a}+2-a^2\)
\(\Leftrightarrow-2a\sqrt{a}+\sqrt{a}=2-a^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}.\left(2a+1\right)=2-a^2\)
\(\Leftrightarrow\left[\sqrt{a}.\left(2a+1\right)\right]^2=\left(2-a^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4a^3-4a^2+a=4-4a^2+a^4\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=4\left(\text{thỏa mãn}\right)\\a=1\left(\text{loại}\right)\end{cases}}\)
=> a = 4
1 tháng 8 2019
Cách ngắn hơn :
\(đkxđ\Leftrightarrow x\ge0\)
\(A=\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1\)
\(=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}^3+1\right)}{a-\sqrt{a}+1}-\left(2\sqrt{a}+1\right)+1\)
\(=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}{a-\sqrt{a}+1}\)\(-2\sqrt{a}-1+1\)
\(=\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)-2\sqrt{a}\)
\(=a+\sqrt{a}-2\sqrt{a}=a-\sqrt{a}\)
\(b,A=2\Rightarrow a-\sqrt{a}=2\)
\(\Rightarrow a-\sqrt{a}-2=0\)
\(\Rightarrow a+\sqrt{a}-2\sqrt{a}-2=0\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)-2\left(\sqrt{a}+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{a}=2\\\sqrt{a}=-1\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=4\\a\in\varnothing\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(c,A=a-\sqrt{a}=\sqrt{a}^2-2.\sqrt{a}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\)
\(=\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow A_{min}=-\frac{1}{4}\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}=\frac{1}{2}\Rightarrow a=\frac{1}{4}\)
Vậy với \(a=\frac{1}{4}\)thì A có giá trị nhỏ nhất là \(-\frac{1}{4}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 8 2021
\(Q\le\sqrt{3\left(a+b+b+c+c+a\right)}=\sqrt{6\left(a+b+c\right)}\le\sqrt{6.\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}=\sqrt{6\sqrt{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Lại có:
\(a^2+b^2+c^2\le1\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge a^2+b^2+c^2=1\)
Do đó:
\(Q^2=2\left(a+b+c\right)+2\sqrt{a^2+ab+bc+ca}+2\sqrt{b^2+ab+bc+ca}+2\sqrt{c^2+ab+bc+ca}\)
\(Q^2\ge2\left(a+b+c\right)+2\sqrt{a^2}+2\sqrt{b^2}+2\sqrt{c^2}\)
\(Q^2\ge4\left(a+b+c\right)\ge4\)
\(\Rightarrow Q\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
7 tháng 9 2021
Bài 5:
a: Thay \(x=4+2\sqrt{3}\) vào E, ta được:
\(E=\dfrac{\sqrt{3}+1-1}{\sqrt{3}+1-3}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}=-3-2\sqrt{3}\)
b: Để E<1 thì E-1<0
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-1-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}< 0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-3< 0\)
hay x<9
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}0\le x< 9\\x\ne1\end{matrix}\right.\)
c: Để E nguyên thì \(4⋮\sqrt{x}-3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-3\in\left\{-2;1;2;4\right\}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{4;5;7\right\}\)
hay \(x\in\left\{16;25;49\right\}\)
NT
7 tháng 9 2021
Câu 2:
a) Ta có \(x=4-2\sqrt{3}\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{\left(\sqrt{3}-2\right)^2}=\sqrt{3}-2\)
Thay \(x=\sqrt{3}-1\) vào \(B\), ta được
\(B=\dfrac{\sqrt{3}-1-2}{\sqrt{3}-1+1}=\dfrac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}}=1-\sqrt{3}\)
b) Để \(B\) âm thì \(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}< 0\) mà \(\sqrt{x}+1\ge1>0\forall x\) \(\Rightarrow\sqrt{x}-2< 0\Rightarrow\sqrt{x}< 2\Rightarrow x< 4\)
c) Ta có \(B=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\)
Với mọi \(x\ge0\) thì \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\sqrt{x}+1\ge1\Rightarrow\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\le3\Rightarrow B=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\ge-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}+1=1\Leftrightarrow x=0\)
Vậy \(B_{min}=-2\) khi \(x=0\)
8 tháng 4 2021
a, Ta có : \(x=4\Rightarrow\sqrt{x}=2\)
\(\Rightarrow A=\frac{2+1}{2+2}=\frac{3}{4}\)
Vậy với x = 4 thì A = 3/4
b, \(B=\frac{3}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+5}{x-1}=\frac{3\left(\sqrt{x}+1\right)-\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
\(=\frac{3\sqrt{x}+3-\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2}{\sqrt{x}+1}\)( đpcm )
LD
17 tháng 5 2021
1. \(x=\frac{1}{9}\) thỏa mãn đk: \(x\ge0;x\ne9\)
Thay \(x=\frac{1}{9}\) vào A ta có:
\(A=\frac{\sqrt{\frac{1}{9}}+1}{\sqrt{\frac{1}{9}}-3}=-\frac{1}{2}\)
2. \(B=...\)
\(B=\frac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}-\frac{4x+6}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)
\(B=\frac{3x-9\sqrt{x}+x+3\sqrt{x}-4x-6}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)
\(B=\frac{-6\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)
3. \(P=A:B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}:\frac{-6\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}+3}{-6}\)
Vì \(\sqrt{x}+3\ge3\forall x\)\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x}+3}{-6}\le\frac{3}{-6}=-\frac{1}{2}\)
hay \(P\le-\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=0
23 tháng 8 2023
a) \(\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{5}-5}{1-\sqrt{5}}\right):\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}\)
\(=\left[-\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}-1}-\dfrac{\sqrt{5}\left(1-\sqrt{5}\right)}{1-\sqrt{5}}\right]\cdot\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\)
\(=\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\)
\(=-\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\)
\(=-\left(2-5\right)\)
\(=-\left(-3\right)\)
\(=3\)
b) Ta có:
\(x^2-x\sqrt{3}+1\)
\(=x^2-2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot x+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\)
\(=\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\)
Mà: \(\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\ge0\forall x\) nên
\(\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}\forall x\)
Dấu "=" xảy ra:
\(\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Vậy: GTNN của biểu thức là \(\dfrac{1}{4}\) tại \(x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
H
23 tháng 8 2023
a)
\(\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{5}-5}{1-\sqrt{5}}\right):\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}\\ =\left(-\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}-1}-\dfrac{\sqrt{5}\left(1-\sqrt{5}\right)}{1-\sqrt{5}}\right).\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\\ =\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right).\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\\ =-\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\\ =-\left(\sqrt{2}^2-\sqrt{5}^2\right)\\ =-\left(2-5\right)\\ =-\left(-3\right)\\ =3\)