cho 0≤a,b,c≤3 và a+b+c=4. tìm min,maxP= a^4+b^4+c^4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
31 tháng 8 2018
Bài 3: \(A=\frac{\left(2a+b+c\right)\left(a+2b+c\right)\left(a+b+2c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Đặt a+b=x;b+c=y;c+a=z
\(A=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
31 tháng 8 2018
Bài 4: \(A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}=\frac{9x-18}{2-x}+\frac{18}{2-x}+\frac{2}{x}\ge-9+\frac{\left(\sqrt{18}+\sqrt{2}\right)^2}{2-x+x}=-9+\frac{32}{2}=7\)
Dấu = xảy ra khi\(\frac{\sqrt{18}}{2-x}=\frac{\sqrt{2}}{x}\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
VQ
23 tháng 5 2022
a2+b2+c2=4−abc≤4
Smax=4 khi 1 trong 3 số bằng 0
4=abc+a2+b2+c2≥abc+33√(abc)2
Đặt 3√abc=x>0⇒x3+3x2−4≤0
⇔(x−1)(x+2)2≤0⇒x≤1
⇒abc≤1⇒S=4−abc≥3
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
23 tháng 5 2022
Min là hoán vị a=b=0 c=2 ; a=c=0 b=2 ; b=c=0 a=2 mà :vv
mà thôi Min làm đr còn max
TKS
Có \(a^4+b^4+c^4=\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\)
\(\ge\dfrac{\left(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right)^2}{3}\) (áp dụng 2 lần BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\))
\(=\dfrac{\left(\dfrac{4^2}{3}\right)^2}{3}=\dfrac{256}{27}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{4}{3}\)
Vậy \(minP=\dfrac{256}{27}\) khi \(a=b=c=\dfrac{4}{3}\)
Min P dễ em có thể tự tìm đơn giản bằng AM-GM
\(P=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)^2+4abc\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)^2+16abc\)
Do \(0\le a;b;c\le3\Rightarrow\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)\ge0\)
\(\Rightarrow3\left(ab+bc+ca\right)-9\left(a+b+c\right)+27-abc\ge0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge\dfrac{abc+9}{3}\)
\(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=16-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\le16-\dfrac{2}{3}\left(abc+9\right)\)
Do đó:
\(P\le\left[16-\dfrac{2}{3}\left(abc+9\right)\right]^2-2\left(\dfrac{abc+9}{3}\right)^2+16abc\)
Đặt \(abc=x\Rightarrow0\le x\le\dfrac{64}{27}\)
\(P\le\left[16-\dfrac{2}{3}\left(x+9\right)\right]^2-2\left(\dfrac{x+9}{3}\right)^2+16x\)
\(P\le\dfrac{2}{9}\left(x^2-6x+369\right)\)
\(P\le\dfrac{2}{9}x\left(x-6\right)+82\)
Do \(0\le x\le\dfrac{64}{27}\Rightarrow x-6< 0\Rightarrow\dfrac{2}{9}x\left(x-6\right)\le0\)
\(\Rightarrow P\le82\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;3\right)\) và các hoán vị