Cho x² + y² + z² = xy + yz + xz. Chứng minh x = y = z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 6 2016
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/
T
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 2 2023
Lời giải:
BĐT cần chứng mình tương đương với:
$(xy+yz+xz)^2\geq 3(x+y+z)$
$\Leftrightarrow (xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)$
$\Leftrightarrow (xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+2xyz(x+y+z)\geq 3xyz(x+y+z)$
$\Leftrightarrow (xy)^2+(yz)^2+(xz)^2\geq xyz(x+y+z)$
$\Leftrightarrow (xy)^2+(yz)^2+(xz)^2-xyz(x+y+z)\geq 0$
$\Leftrightarrow 2(xy)^2+2(yz)^2+2(xz)^2-2xyz(x+y+z)\geq 0$
$\Leftrightarrow (xy-yz)^2+(yz-xz)^2+(xz-xy)^2\geq 0$
(luôn đúng với mọi $x,y,z\geq 0$)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 3 2020
Lời giải:
CM vế thứ nhất:
Xét hiệu: $x^2+y^2+z^2-(xy+yz+xz)=\frac{2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz}{2}=\frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}\geq 0$ với mọi $x,y,z$ là độ dài 3 cạnh tam giác.
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz$ (đpcm)
CM vế thứ 2:
Áp dụng BĐT tam giác ta có:
$x< y+z\Rightarrow x^2< x(y+z)$
$y< x+z\Rightarrow y^2< y(x+z)$
$z< x+y\Rightarrow z^2< z(x+y)$
Cộng theo vế 3 điều trên suy ra $x^2+y^2+z^2< 2(xy+yz+xz)$ (đpcm)
Vậy.........
F
0
HN
5
LA
17 tháng 3 2018
(x/ 1+x+xy)+ (y/ 1+y+yz) + ( z/ 1+z+zx)
\(=\frac{1}{\left(yz+1+y\right)}+\frac{y}{\left(1+y+yz\right)}+\frac{yz}{\left(y+yz+xyz\right)}\)
\(=\frac{1}{\left(yz+1+y\right)}+\frac{y}{\left(1+y+yz\right)}+\frac{yz}{\left(y+yz+1\right)}\)
\(=\frac{\left(1+y+yz\right)}{\left(y+yz+1\right)}=1\)
Vậy (x/ 1+x+xy)+ (y/ 1+y+yz) + ( z/ 1+z+zx)=1(Đpcm)
3/(xy+yz+zx) + 2/(x²+y²+z²) = 6/(2xy+2yz+2zx) + 2/(x²+y²+z²)
≥ (√6+√2)²/(x+y+z)² = (√6+√2)² > 14 (đpcm).
đpcm = dieuf phai chung minh