cho a,b,c bất kì. C/m 4a4+4a3+5a2 - 2a + 1 \(\ge\) 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
6 tháng 3 2018
1a)\(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{1}{4}\)(1)
Lại có:\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng\(\Rightarrowđpcm\)
1b)\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{c^2}{2}\ge\dfrac{1}{6}\)(2)
Lại có:\(\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{c^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=\dfrac{1}{6}\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) đúng\(\Rightarrowđpcm\)
6 tháng 3 2018
2b)Ta có:\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(bđt phụ)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\dfrac{4^2}{3}=\dfrac{16}{3}\)
\(\Rightarrow MAXA=\dfrac{16}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{4}{3}\)
22 tháng 8 2021
Bài 3:
a: Ta có: \(\left(y-5\right)\left(y+8\right)-\left(y+4\right)\left(y-1\right)\)
\(=y^2+8y-5y-40-y^2+y-4y+4\)
=-36
b: Ta có: \(y^4-\left(y^2-1\right)\left(y^2+1\right)\)
\(=y^4-y^4+1\)
=1
22 tháng 8 2021
Bài 2:
a: \(\left(2a-b\right)\left(4a+b\right)+2a\left(b-3a\right)\)
\(=8a^2+2ab-4ab-b^2+2ab-6a^2\)
\(=2a^2-b^2\)
b: \(\left(3a-2b\right)\left(2a-3b\right)-6a\left(a-b\right)\)
\(=6a^2-9ab-4ab+6b^2-6a^2+6ab\)
\(=6b^2-7ab\)
c: \(5b\left(2x-b\right)-\left(8b-x\right)\left(2x-b\right)\)
\(=10bx-5b^2-16bx+8b^2+2x^2-xb\)
\(=3b^2-7xb+2x^2\)
22 tháng 2 2022
Áp dụng đánh giá \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\) , ta được:
\(\left(\frac{a}{b+2c}\right)^2+\left(\frac{b}{c+2a}\right)^2+\left(\frac{c}{a+2b}\right)^2\ge\frac{1}{3}\left(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\right)\)
Vậy ta cần chứng minh:
\(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\ge1\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
\(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\)
Vậy theo đánh giá ta được: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\), do đó ta được:
\(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\ge1\)
Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.
GN
GV Nguyễn Trần Thành Đạt
Giáo viên
26 tháng 11 2023
Ban đầu lớp 4A3 trồng nhiều hơn lớp 4A3 số cây thông là: 13 + 13 = 26 (cây)
Lớp 4A trồng được: (2348+26):2= 1187 (cây)
Lớp 4B trồng được: 1187 - 26 = 1161 (cây)
Đ.số:.....
17 tháng 4 2019
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(đung)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 11 2019
Đề bài này chỉ đúng khi a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
Nếu đề đúng như thế thì chứng minh như sau:
\(VT=\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\)
Ta có: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{2}{c}\)
Cộng vế với vế:
\(2VT\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\Rightarrow VT\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
NN
7 tháng 4 2019
Ta chứng minh:
a2 + b2 + c2 \(\ge\) ab + bc + ac
Nhân cả 2 vế với 2 ta được :
= 2a2 + 2b2 + 2c2 \(\ge\) 2ab + 2bc + 2ac
= 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ac \(\ge0\)
= ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( a2 - 2ac + c2 ) \(\ge0\)
= ( a - b )2 + ( b - c)2 + ( a - c )2 \(\ge0\) ( luôn đúng )
\(\Rightarrow\)a2 + b2 + c2 \(\ge\)ab + bc + ac
Ta có : a2 + b2 + c2 \(\ge\)ab + bc + ac
Nhân cả 2 vế với 2 ta được :
2 ( a2 + b2 + c2 ) \(\ge\) 2 ( ab + bc + ac )
Cộng cả 2 vế với : a2 + b2 + c2 ta được :
3 ( a2 + b2 + c2 ) \(\ge\) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
3 ( a2 + b2 + c2 ) \(\ge\) ( a + b + c )2
3 ( a2 + b2 + c2 ) \(\ge\)1
a2 + b2 + c2 \(\ge\)\(\frac{1}{3}\) ( đpcm)
16 tháng 4 2019
Ta chứng minh \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (Đúng)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
Giải chi tiết cho dễ hiểu
17 tháng 4 2019
Cách khác nè:
Áp dụng BĐT bun-hia-cop-xki ta có:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}}\)
a; b; c bất kì thế c, b đâu em nhỉ?