K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

22 tháng 1 2018

\(\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}\ge\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+a}\)

dự đoán dấu = xảy ra khi a=b=1

áp dụng cô si cho VT ta có

\(\frac{1}{3a}+\frac{3a}{9}\ge2\sqrt{\frac{3a}{3a.9}}=\frac{2}{3}\)

\(\frac{1}{3b}+\frac{3b}{9}\ge2\sqrt{\frac{3b}{3b.9}}=\frac{2}{3}\)

+ vế với vế ta được

\(VT+\frac{1}{3}\left(a+b\right)\ge\frac{4}{3}\) (1)

áp dụng cô si cho VP ta được

\(\frac{1}{2a+b}+\frac{\left(2a+b\right)}{9}\ge2\sqrt{\frac{\left(2a+b\right)}{\left(2a+b\right).9}}=\frac{2}{3}\)

\(\frac{1}{2b+a}+\frac{\left(2b+a\right)}{9}\ge2\sqrt{\frac{\left(2b+a\right)}{\left(2b+a\right).9}}=\frac{2}{3}\)

\(VP+\frac{1}{3}\left(a+b\right)\ge\frac{4}{3}\) (2)

Từ 1 và 2 \(VT\ge VP...."="\rightarrow a=b=1\)

29 tháng 9 2017

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:

\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\ge\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{2a+b+c}\ge\frac{2}{a+b+2c};\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{2}{2a+b+c}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(VT=\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+3b}\)

\(\ge\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}=VP\)

29 tháng 9 2017

thanks

19 tháng 2 2020

Áp dụng bđt Cauchy-schwarz dạng engel ta có:

1. \(\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2c}+\frac{c^2}{c+2a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+2b\right)+\left(b+2c\right)+\left(c+2a\right)}=\frac{a+b+c}{3}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\frac{a}{a+2b}=\frac{b}{b+2c}=\frac{c}{c+2a}\Leftrightarrow a=b=c\)

2. \(\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(2a+3b\right)+\left(2b+3c\right)+\left(2c+3a\right)}=\frac{a+b+c}{5}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)

3 tháng 10 2017

a ) \(P=\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\)

Ta có : \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{2xy}\ge\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\)

\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge\frac{4}{2xy+x^2+y^2}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=\frac{4}{1}=4\)

\(\Rightarrow P\ge2+4=6\) Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

b ) Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\forall x;y;z>0\) ta được :

\(\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

\(\frac{1}{2b+a}=\frac{1}{b+b+a}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\)

Cộng vế với vế ta được :

 \(\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+a}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}\right)\)

\(=\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}\) hay \(\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}\ge\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+a}\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 11 2017

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{b+c+c+a+c+a}=\frac{9}{3c+2a+b}\)

\(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{9}{a+c+a+b+a+b}=\frac{9}{3a+2b+c}\)

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{9}{a+b+b+c+b+c}=\frac{9}{3b+2c+a}\)

Cộng theo vế rồi rút gọn ta thu được

\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\geq 3\left(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{3b+2c+a}+\frac{1}{3c+2a+b}\right)\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

4 tháng 11 2017

@Ace Legona bác giúp em với

3 tháng 11 2017

Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) ta có:

\(\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{a+b+2c}\ge\dfrac{4}{2a+4b+2c}=\dfrac{2}{a+2b+c}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{2a+b+c}\ge\dfrac{2}{a+b+2c};\dfrac{1}{c+3a}+\dfrac{1}{a+2b+c}\ge\dfrac{2}{2a+b+c}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT=\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{c+3a}+\dfrac{1}{a+3b}\)

\(\ge\dfrac{1}{a+b+2c}+\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}=VP\)

23 tháng 8 2015

Xin lỗi lúc này do thày nhìn nhầm nên nghĩ câu 2 sai đề. Để đền bù thiệt hại, xin giải lại cả hai bài cho em

Cả hai bài toán này đều sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz. Em xem link dưới đây để biết rõ hơn: http://olm.vn/hoi-dap/question/174274.html

Câu 1. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có

\(\frac{a}{2a^2+bc}+\frac{b}{2b^2+ac}+\frac{c}{2c^2+ab}=\frac{1}{2a+\frac{bc}{a}}+\frac{1}{2b+\frac{ca}{b}}+\frac{1}{2c+\frac{ab}{c}}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)+\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)}=\frac{9}{2\left(a+b+c\right)+\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc}}=\frac{9abc}{2abc\left(a+b+c\right)+\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}\)

\(=\frac{9abc}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{9abc}{9}=abc.\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu 2.  Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz

\(\frac{8}{2a+b}=\frac{4}{a+\frac{b}{2}}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{\frac{b}{2}}=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}.\)

Tương tự, \(\frac{48}{3b+2c}=\frac{16}{b+\frac{2c}{3}}\le4\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{\frac{2c}{3}}\right)=\frac{4}{b}+\frac{6}{c},\)\(\frac{12}{c+3a}=\frac{4}{\frac{c}{3}+a}\le\frac{1}{\frac{c}{3}}+\frac{1}{a}=\frac{3}{c}+\frac{1}{a}.\)

Cộng ba bất đẳng thức lại ta được

\(\frac{8}{2a+b}+\frac{48}{3b+2c}+\frac{12}{c+3a}\le\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right)+\left(\frac{4}{b}+\frac{6}{c}\right)+\left(\frac{3}{c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{2}{a}+\frac{6}{b}+\frac{9}{c}.\)    (ĐPCM).