cho a,b,c >0 và abc=1.
c/m\(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\ge\frac{1}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 7 2020
4.
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
5.
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{bc.ca}}=\frac{2}{c}\) ; \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 7 2020
1.
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{ab}\right)^2+\left(\sqrt{bc}\right)^2+\left(\sqrt{ca}\right)^2\ge\sqrt{ab}.\sqrt{bc}+\sqrt{ab}.\sqrt{ac}+\sqrt{bc}.\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
2.
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt[]{\frac{ab.bc}{ca}}=2b\) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)
3.
Từ câu b, thay \(c=1\) ta được:
\(ab+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge a+b+1\)
LT
0
T
28 tháng 5 2019
#)Trả lời :
Bạn tham khảo nha : Câu hỏi của Nguyễn Trương Hoài Nam - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Link : https://olm.vn/hoi-dap/detail/66344373938.html
Bạn vô câu hỏi tương tự ý cho nhanh, ngay đầu bảng luôn ^^
#~Will~be~Pens~#
BH
7 tháng 4 2019
\(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{ca+1}\ge\frac{9}{3+ab+ca+bc}\)
Cần c/m \(\frac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\frac{9}{6}\Leftrightarrow ab+cb+ca\le3\)(*)
Mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3ab+3ac+3bc\)
Mặt khác a+b+c=3
nên BĐT (*) đúng hay BĐT cần c/m luôn đúng
PQ
4
5 tháng 4 2018
Ta có: \(ab+bc+ca+\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\ge2\sqrt{\frac{3\left(ab+bc+ca\right)^2}{a+b+c}}\)
Lại có: \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca+\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\ge2\sqrt{\frac{3.3abc\left(a+b+c\right)}{a+b+c}}=6\)
\(\Rightarrow1+\frac{3}{a+b+c}\ge\frac{6}{ab+bc+ca}\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
KN
6 tháng 6 2020
Đặt \(a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r\). Khi đó r = 1 và ta cần chứng minh \(1+\frac{3}{p}\ge\frac{6}{q}\)
Ta có: \(q^2\ge3pr=3p\Rightarrow p\le\frac{q^2}{3}\)
\(\Rightarrow1+\frac{3}{p}\ge1+\frac{9}{q^2}\)
Đến đây, ta cần chứng minh \(1+\frac{9}{q^2}\ge\frac{6}{q}\Leftrightarrow\left(q-3\right)^2\ge0\)(Đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
\(a+b\ge\sqrt[3]{a}"\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}"=\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{c}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+1}\le\frac{\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}\)
\(\Rightarrow\)Xong rồi
P/s: Ko chắc
mk ko hiểu