Giải
\(x=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 10 2020
ĐKXĐ: ...
Lấy pt cuối trừ 3 lần pt đầu ta được:
\(\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^3+\left(\sqrt{y}-\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^3+\left(\sqrt{z}-\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^3=\frac{512}{27}\)
Pt (2) tương đương:
\(x+\frac{1}{x}-2+y+\frac{1}{y}-2+z+\frac{1}{z}-2=\frac{64}{9}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2=\frac{64}{9}\)
Đặt \(\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}};\sqrt{y}-\frac{1}{\sqrt{y}};\sqrt{z}-\frac{1}{\sqrt{z}}\right)=\left(a;b;c\right)\)
Hệ trở thành:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=\frac{8}{3}\\a^2+b^2+c^2=\frac{64}{9}\\a^3+b^3+c^3=\frac{512}{27}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=\frac{8}{3}\\ab+bc+ca=0\\a^3+b^3+c^3=\frac{512}{27}\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{512}{27}-3abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=\frac{512}{27}-3abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{8}{3}.\left(\frac{64}{9}-0\right)=\frac{512}{27}-3abc\)
\(\Rightarrow abc=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=\frac{8}{3}\\ab+bc+ca=0\\abc=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\frac{8}{3}\right)\) và hoán vị
Hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;9\right)\) và hoán vị
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 2 2020
ĐKXĐ: \(x\ge0\)
Nhân cả tử và mẫu của từng phân số với liên hợp của chúng (do các liên hợp này luôn dương) và rút gọn ta được:
\(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}-\sqrt{x}=1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}=1+\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow x+3=x+1+2\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Rightarrow x=1\)
30 tháng 9 2020
Làm như này dễ hiểu hơn (áp dụng công thức của Nguyễn Việt Lâm thôi)
\(\frac{1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}}+\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=1\) (ĐKXĐ: x \(\ge\) 0)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{\sqrt{x+3}}-\frac{1}{\sqrt{x+2}}+\frac{1}{\sqrt{x+2}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{\sqrt{x+3}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x+3}-\sqrt{x}\) = 1
\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x+3}=1+\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow\) x + 3 = 1 + 2\(\sqrt{x}\) + x (Bình phương 2 vế lên)
\(\Leftrightarrow\) 2\(\sqrt{x}\) = 2
\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{x}\) = 1
\(\Leftrightarrow\) x = 1 (TMĐK)
Vậy S = {1}
Chúc bn học tốt!
dk \(x\ge1\)
ap dung bdt amgm ta co
\(\sqrt{x-\frac{1}{x}}=\sqrt{1\left(x-\frac{1}{x}\right)}\le\frac{1+x-\frac{1}{x}}{2}\)
\(\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\sqrt{\frac{1}{x}.\left(x-1\right)}\le\frac{\frac{1}{x}+x-1}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}\le x\)
dau = xay ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{x}=1\\x-1=\frac{1}{x}\end{cases}\Leftrightarrow x^2-x-1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\left(loai\right)\end{cases}}}\)
Bất đảng thức amgm là bất đẳng thức gì