Question

[Khương Vũ Phương Anh]

Cho (O; R) và 3 dây AB, AC, AD; gọi M và N là lần lượt là hình chiếu của B trên các đường thẳng AC, AD. Chứng minh \(MN\le2R\)

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

A C B D M N O

Có ^BMC = ^BND = 90⁰, ^BCM = ^BDN => \(\Delta\)BMC ~ \(\Delta\)BND (g.g)

=> \(\frac{BM}{BC}=\frac{BN}{BD}\)và ^MBN = ^CDB => \(\Delta\)BNM ~ \(\Delta\)BDC (c.g.c)

=> \(\frac{MN}{CD}=\frac{BN}{BD}\le\frac{BD}{BD}=1\)=> \(MN\le CD\)

Ta thấy CD là một dây của đường tròn (O;R) nên \(CD\le2R\)

Vậy thì \(MN\le2R\). Đẳng thức có khi và chỉ khi N trùng D và CD là đường kính của (O)

<=> Tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Từ đó suy ra vị trí của 3 dây AB,AC,AD.