Question

[nguyễn trí đức]

Tìm các bộ ba số tự nhiên a, b, c khác 0 thoả mãn: 1/a+1/b+1/c=4/5

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Không mất tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

$\Rightarrow \frac{1}{a}\leq \frac{1}{b}\leq \frac{1}{c}$

$\Rightarrow \frac{4}{5}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{3}{c}$

$\Rightarrow c\leq 3,75$. Mà $c$ là stn khác 0 nên $c=1,2,3$

Nếu $c=1$ thì $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{4}{5}-\frac{1}{c}=-\frac{1}{5}<0$ (vô lý - loại)

Nếu $c=2$ thì $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{4}{5}-\frac{1}{c}=\frac{3}{10}$

Do $\frac{1}{a}\leq \frac{1}{b}$ nên $\frac{3}{10}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\leq \frac{2}{b}$

$\Rightarrow b\leq 6,66$

Do $b$ là số tự nhiên và $b\geq c$ nên $b=2,3,4,5,6$

Thay vào tìm $a$ ta thấy $b=4; a=20$ và $b=5, a=10$

Nếu $c=3$ thì $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{4}{5}-\frac{1}{c}=\frac{7}{15}$

Do $\frac{1}{a}\leq \frac{1}{b}$ nên $\frac{7}{15}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\leq \frac{2}{b}$

$\Rightarrow b\leq 4,28$

Mà $b$ là và $b\geq c=3$ nên $b=3;4$. Thay vào tìm $a$ thấy không thỏa mãn.

Vậy $(a,b,c)=(2,4,20), (2,5,10)$ và hoán vị.