\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)Hãy chứng minh.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
27 tháng 1 2019
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\) (1)
Mặt khác,ta sẽ c/m bổ đề: Với x<y thì \(\frac{x}{y}< \frac{x+m}{y+m}\) (m>0)
\(\Leftrightarrow x\left(y+m\right)< y\left(x+m\right)\)
\(\Leftrightarrow xy+xm< xy+ym\)
\(\Leftrightarrow xm< ym\Leftrightarrow x< y\) "đúng"
Áp dụng vào,ta có: \(\frac{a}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}\)
Chứng minh tương tự và cộng theo vế: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
13 tháng 4 2017
\(VT=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{b+c+b}+\frac{c+b}{c+a+b}=2=VT\)
24 tháng 1 2017
TA có
\(\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}=\frac{a\left(b+c\right)}{b\left(b+c\right)}-\frac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+c\right)}\)
\(=\frac{ab+ac-ab-bc}{b\left(b+c\right)}=\frac{ac-bc}{b\left(b+c\right)}=\frac{c\left(a-b\right)}{b\left(b+c\right)}\)
vì a>b => a-b > 0 => c(a-b) > 0
=> \(\frac{c\left(a-b\right)}{b\left(b+c\right)}>0\)
\(=>\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}>0\)
\(=>\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}\)
=> đpcm
b) Ta có a+b < a+b+c ; b+c < a+b+c ; c+a < a+b+c
\(=>\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(=>\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\) (1)
Lại có
Áp dùng câu a ta có a< a+b ; b< b+c ; c<c+a
=> \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
\(=>\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (2)
Từ (1) và (2) => dpcm
16 tháng 1 2017
ta có:
a/a+b>a/a+b+c
b/b+c>b/a+b+c
c/a+c>c/a+b+c
cộng vế theo vế ta có
a/a+b +b/b+c +c/c+a > a+b+c / a+b+c =1
=>a/a+b +b/b+c +c/c+a >1 (*)
lại có
a/a+b< a+c/a+b+c
b/b+c < b+a / a+b+c
c/c+b < c+b/a+b+c
cộng vế theo vế ta có
a/a+b + b/b+c +c/c+a < 2(a+b+c)/ a+b+c
vì a,b,c là các số dương nên a/a+b + b/b+c +c/c+a < 2 (**)
từ (*) và (**) => ĐPCM
mik chắc chắn bài này chuẩn đúng 100% nhớ cho mik 5 sao nha
TM
16 tháng 1 2017
Vì a;b;c là các số dương nên \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{a+c}>\frac{c}{a+b+c}\)
=>\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)(1)
Ta có: a<a+b <=> ac<ac+bc <=> ac+a2+ab<ac+bc+a2+ab
<=> \(a\left(c+a+b\right)< \left(a+b\right)\left(c+a\right)\Leftrightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Chứng minh tương tự được : \(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c};\frac{c}{a+c}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
=>\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}=2\) (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
26 tháng 2 2016
bài này lớp 7 liên quan đến BĐT tam giác nên ns thì bn cũng ko hiểu đâu!
Ta có:
\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c},\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c},\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}.\)
\(\frac{\Rightarrow a}{a+b}+\frac{b}{c+b}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2.\)(1)
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c},\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}.\)
\(\frac{\Rightarrow a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1.\)(2)
Từ (1) và (2) =>ĐPCM
Sai đề.a,b,c phái >0