CMR :\(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\) \(>=2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 7 2017
ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]
MC
30 tháng 10 2018
VẬy bạn giải ra cho mọi người xem được ko?
Lớn hơn hoặc bằng kí hiệu trong Latex là \geq nha!
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 2 2017
Bài 1)
Ta biết ĐKXĐ:
\(\left\{\begin{matrix}4-x^2\ge0\\x^4-16\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}4-x^2\ge0\\\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}4-x^2\ge0\\x^2-4\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow x^2-4=0\rightarrow x=\pm2\)
Mặt khác \(4x+1\geq 0\Rightarrow x=2\)
Thay vào PT ban đầu : \(\Rightarrow 3+|y-1|=-y+5\Leftrightarrow |y-1|=2-y\)
Xét TH \(y-1\geq 0\) và \(y-1<0\) ta thu được \(y=\frac{3}{2}\)
Thu được cặp nghiệm \((x,y)=\left (2,\frac{3}{2}\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 2 2017
Bài 2)
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\sqrt{\frac{z(x-z)}{xy}}+\sqrt{\frac{z(y-z)}{xy}}\leq 1\Leftrightarrow A=\left(\sqrt{\frac{z(x-z)}{xy}}+\sqrt{\frac{z(y-z)}{xy}}\right)^2\leq 1\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz kết hợp AM-GM:
\(A\leq \left ( \frac{z}{y}+\frac{z}{x} \right )\left ( \frac{x-z}{x}+\frac{y-z}{y} \right )=\left ( \frac{z}{x}+\frac{z}{y} \right )\left ( 2-\frac{z}{x}-\frac{z}{y} \right )\)
\(\leq \left ( \frac{\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+2-\frac{z}{x}-\frac{z}{y}}{2} \right )^2=1\)
Do đó ta có đpcm.
LD
1
UN
1
18 tháng 6 2018
Áp dụng bđt AM-GM:
\(x^2+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{x}\)
\(y^2+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{y}\)
Cộng theo vế: \(VT=x^2+y^2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=VP\)
\("="\Leftrightarrow x=y=1\)
TN
12 tháng 10 2016
\(A=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)
Áp dụng Bđt MIncopxki ta có:
\(A\ge\sqrt{\left(x+y+\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{2+80}=\sqrt{82}\)
Dấu = khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
N
1 tháng 12 2018
a)ĐK: \(x\ge0;x\ne1\)
\(A\Leftrightarrow\left(\dfrac{x+2+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)-1\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\right):\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{2\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(\left(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\right)^2\ge4\sqrt{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)
\(=4\sqrt{x^4+x^2+1}\ge4\sqrt{0+0+1}=4\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\ge2\)
dấu bằng xảy ra khi x=0;1
hình như sai đề