Cho a>1,b>1.Tìm GTNN E=\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MG
1
2 tháng 8 2017
Đặt b-1=x;a-1=y>>E=(y+1)^2/x+(x+1)^2/y>=(y+1+x+1)^2/(x+y)(BĐT Cauchuy-Swartch)
=(x+y+2)^2/(x+y)=((x+y)^2+4(x+y)+4)/(x+y)=(x+y)+4+4/(x+y)
=(x+y)+4/(x+y)>+4>=4+4=8
Dấu =xảy ra khi (x+y)=4/x+y và x=y khi x=y=1(do x,y>0 vì a,b>1)
khi và chỉ khi a=b=2
Vậy E min =8 khi a=b=2
HN
1
20 tháng 2 2018
Xét : a^2/b-1 + 4.(b-1) >= \(2\sqrt{\frac{a^2}{b-1}.4.\left(b-1\right)}\) = 4a
Tương tự : b^2/a-1 + 4.(a-1) >= 4b
<=> G + 4.(a-1)+(4.(b-1) >= 4a+4b
<=> G + 4a+4b-8 >= 4a+4b
<=> G >= 4a+4b-4a-4b+8 = 8
Dấu "=" xảy ra <=> a^2/b-1 = 4.(b-1) và b^2/a-1 = 4.(a-1) <=> a=b=2
Vậy GTNN của G = 8 <=> a=b=2
Tk mk nha
20 tháng 2 2018
đúng rồi
đúng
đúng
100000000000000000000000000000000000000000000000000%
2 tháng 11 2019
1.
Vì x>0 nên \(A=\frac{16x+4+\frac{1}{x}}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương
\(16x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{16x.\frac{1}{x}}=2.4=8\). Dấu "=" khi \(16x=\frac{1}{x}\Rightarrow x^2=\frac{1}{16}\Rightarrow x=\frac{1}{4}\)
\(A=\frac{16x+4+\frac{1}{x}}{2}\ge\frac{8+4}{2}=6\)
Vậy GTNN của A là 6 khi \(x=\frac{1}{4}\)
2.
\(B=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{10}{ab}\)
Ta có: \(10=a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{ab}\le5\Rightarrow ab\le25\). Dấu "=" khi a = b = 5
\(\Rightarrow B=\frac{10}{ab}\ge\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\)
Vậy GTNN của B là \(\frac{2}{5}\)khi a = b = 5
TT
28 tháng 2 2020
1) Tìm GTNN :
Ta có : \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
2) Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
28 tháng 2 2020
2/ Áp dụng bđt Cô- si cho 2 số dương ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+b}\frac{1+b}{4}}=a\)
Tương tự ta có \(\frac{b^2}{1+c}+\frac{1+c}{4}\ge b;\frac{c^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge a+b+c-\left(\frac{1+b}{4}+\frac{1+c}{4}+\frac{1+a}{4}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge3-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=3-\frac{1}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
6 tháng 6 2018
Ta có: \(a+b+c=1\Rightarrow c\le\frac{1}{3}\)
vì vai trò a,b,c như nhau giả sử: \(c\ge a;c\ge b\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\ge\frac{a+b+c}{c^2+1}\ge\frac{9}{10}\)
Theo AM GM 3 số ta có:\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le\frac{1}{27}\Leftrightarrow\frac{1}{9abc}\le3\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{9}{10}+3=\frac{39}{10}\) Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
NT
0
Câu 1: a,b > 1. chứng minh: a^2 /(b-1) + b^2/ (a-1) >=8?
Thanks!!kết bạn nha!!