a,b>0 thỏa \(\left(a+b\right)^3+4ab\le12\):
cm:\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\le2016\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 4 2017
Ta có:
\(12\geq (a+b)^{3}+4ab\geq a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)+4ab\)
\(\geq 4ab(a+b)+4ab\geq 8\sqrt{a^{3}b^{3}}+4ab\)
\(\Leftrightarrow 3\geq 2\sqrt{a^{3}b^{3}}+ab\Leftrightarrow (\sqrt{ab}-1)(2ab+2\sqrt{ab}+3)\leq 0 \Leftrightarrow ab\leq 1\)
Vì \(ab\leq 1\) nên ta có BĐT
\(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}\le\dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{ab}-1\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(1+\sqrt{ab}\right)}\le0\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+2015ab\le\dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}+2015ab\le2016\)
Cần chỉ ra \(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}\le\dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}=1\)
\(\Leftrightarrow 2015\sqrt{ab}(ab-1)+\sqrt{ab}(\sqrt{ab}-1)+2014ab\leq 2014\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)
T/B; bận leo rank nên bài làm hơi lộn xộn, khó hiểu chỗ nào mai sẽ giải thích 
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 10 2019
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(P=\frac{x^3yz}{y+z}+\frac{y^3xz}{x+z}+\frac{z^3xy}{x+y}=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\)
S
23 tháng 5 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}\)
Tượng tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{1+c}{8}+\frac{1+a}{8}\ge\frac{3b}{4}\\\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{1+a}{8}+\frac{1+b}{8}\ge\frac{3c}{4}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow VT+\frac{3}{4}+\frac{a+b+c}{4}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{2}-\frac{3}{4}\)(1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{2}-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)(2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\)( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Ta có: \(12\ge\left(a+b\right)^3+4ab\ge a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+4ab\)
\(\ge4ab\left(a+b\right)+4ab\ge8\sqrt{a^3b^3}+4ab\)
\(\Leftrightarrow3\ge2\sqrt{a^3b^3}+ab\Leftrightarrow\left(\sqrt{ab}-1\right)\left(2ab+2\sqrt{ab}+3\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow ab\le1\). Ta có BĐT \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\le\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{ab}-1\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(1+\sqrt{ab}\right)}\le0\) đúng với \(ab\le1\)
Áp dụng BĐT vừa c/m trên ta có:
\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\le\frac{2}{1+\sqrt{ab}}+2015ab\)
Cần chứng minh \(\frac{2}{1+\sqrt{ab}}+2015ab\le2016\)
\(\Leftrightarrow2015\sqrt{ab}\left(ab-1\right)+\sqrt{ab}\left(\sqrt{ab}-1\right)+2014ab\le2014\) ( luôn đúng do \(ab\le1\))
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)