cho x,y,z>0 thỏa mãn (x+y)(y+z)(z+x)=8xyz
chứng minh x=y=z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VT
1 tháng 3 2018
Ta có A=\(\frac{x^2}{x\sqrt{y}}+\frac{y^2}{y\sqrt{z}}+\frac{z^2}{z\sqrt{x}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}}\)
Áp dụng BĐt bu-nhi-a, ta có
\(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}\le\sqrt{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\left(x+y+z\right)}\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{\frac{x+y+z}{\frac{1}{3}}}=\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\ge\sqrt{9}=3\)
=> A>=3 (ĐPCM)
Dấu = xảy ra <=> x=y=z=1
^^
30 tháng 5 2020
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
26 tháng 7 2017
pt cái (x+y)(y+z)(z+x)=\(2xyz+z^2\left(x+y\right)+x^2\left(y+z\right)+y^2\left(x+z\right)\)
xét hiệu \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)-2\left(1+x+y+z\right)=2xyz+z^2\left(x+y\right)+y^2\left(x+z\right)+x^2\left(y+z\right)-2xyz-\left(x+y\right)-\left(y+z\right)-\left(x+y\right)\)\(z^2\left(x+y\right)\ge\left(x+y\right)\)(vì x;y;z>0)
tương tự
=> đpcm