cho x,y.z>0 và \(x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\). tính P=xyz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 2 2017
Áp dụng liên tiếp bđt AM-GM cho 2 số dương ta có:
A = \(\left(xyz+1\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\)\(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}=\left(xy+\frac{y}{x}\right)+\left(yz+\frac{z}{y}\right)+\)\(\left(xz+\frac{x}{z}\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)\(\ge2\sqrt{xy.\frac{y}{x}}+2\sqrt{yz.\frac{z}{y}}+2\sqrt{xz.\frac{x}{z}}+\)\(+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(A\ge2y+2z+2x+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)\(=x+y+z+\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)+\left(z+\frac{1}{z}\right)\)
\(A\ge x+y+z+2\sqrt{x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{y}}+\)\(2\sqrt{z.\frac{1}{z}}=x+y+z+2.3=x+y+z+6\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
3 tháng 11 2018
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\) Do \(xyz=1\Rightarrow abc=1\)
Ta có \(M=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{a^3+c^3+1}\)
Cần chứng minh \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) \(BĐT\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\left(true\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\frac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{a+b+c}\)
Tương tự cộng lại ra ĐPCM
HP
cho x,y,z>0 và x+y+z=4. CMR \(\frac{1}{x^2+4yz}+\frac{1}{y^2+4xz}+\frac{1}{z^2+4xy}< \frac{1}{xyz}\)
0
N
16 tháng 8 2020
Xét: \(x^4+y^4-xy\left(x^2+y^2\right)=\left(x^2+y^2+xy\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^4+y^4\ge xy\left(x^2+y^2\right)\)(*)
Tương tự với (*) ta có: \(\hept{\begin{cases}y^4+z^4\ge yz\left(y^2+z^2\right)\\z^4+x^4\ge zx\left(z^2+x^2\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{x^4+y^4+z}\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{xy\left(x^2+y^2\right)+z.xyz}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{xy\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}\)
Ta có:\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\) và \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{x^4+y^4+z}\le\frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}\le\frac{1}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1