cho a+b+c = 0
tính :
P= 1/ a^2 + b^2 - c^2 + 1/ b^2 + c^2- a^2 + 1/ c^2+ a^2 - b^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 11 2021
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\Rightarrow ab+bc+ca=0\)
\(a+b+c=\sqrt{2019}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=2019\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=2019\) ( vì \(ab+bc+ca=0\))
11 tháng 11 2021
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\\ A=a^2+b^2+c^2\\ \Leftrightarrow A=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\\ \Leftrightarrow A=\left(\sqrt{2019}\right)^2-2\cdot0=2019\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 7 2021
1.
\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
Ta có:
\(\dfrac{\left(a+2b\right)^2+\left(b+2c\right)^2+\left(c+2a\right)^2}{\left(a-2b\right)^2+\left(b-2c\right)^2+\left(c-2a\right)^2}\)
\(=\dfrac{a^2+4b^2+4ab+b^2+4c^2+4bc+c^2+4a^2+4ca}{a^2+4b^2-4ab+b^2+4c^2-4bc+c^2+4a^2-4ca}\)
\(=\dfrac{5\left(a^2+b^2+c^2\right)+4\left(ab+bc+ca\right)}{5\left(a^2+b^2+c^2\right)-4\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\dfrac{-10\left(ab+bc+ca\right)+4\left(ab+bc+ca\right)}{-10\left(ab+bc+ca\right)-4\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\dfrac{-6}{-14}=\dfrac{3}{7}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 7 2021
b.
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right)-3abc\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab+2bc+3ca}{3a^2+4b^2+5c^2}=\dfrac{a^2+2a^2+3a^2}{3a^2+4a^2+5a^2}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\)
1 tháng 3 2016
vì \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1=>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{cz}\right)=1\)
==>A=\(1-2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{cz}\right)=1-\frac{2\left(cxy+ayz+bzx\right)}{xyz}\)(1)
mặt khác từ \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\) ==> \(\frac{ayz+bzx+cxy}{xyz}=0=>ayz+cxy+bzx=0\) ( thay vào (1) ta có
A=1-0=1
3 tháng 4 2020
1)Cho a,b,c >0
Chứng minh bc/a^2(b+c) + ca/b^2(c+a) +ab/c^2(a+b) > hoặc = 1/2(1/a+1/b+1/c)
2) Cho a,b,c>0 1/a + 1/b + 1/c =1
Chứng minh (b+c)/a^2 + (c+a)/b^2 + (a+b)/c^2 > hoặc = 2
Đọc tiếp...
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 2 2017
Bài 1
Đặt \(A=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)\)
Biến đổi:
\(A=a^3+b^3+c^3-3[abc-(ab+bc+ac)+a+b+c-1]=a^3+b^3+c^3-3abc+3(ab+bc+ac)-6\)
\(A=(a+b+c)^3-3[(a+b)(b+c)(c+a)+abc]-6+3(ab+bc+ac)\)
\(A=21-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3(ab+bc+ac)=21-6(ab+bc+ac)\)
Áp dụng BĐT Am-Gm:
\(3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=9\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3\)
\(\Rightarrow A\geq 21-6.3=3\). Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Vì \(0\leq a,b,c\leq2\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4\leq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4+abc\geq 0\Rightarrow ab+bc+ac\geq 2\)
\(\Rightarrow A\leq 21-6.2=9\). Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 2 2017
Bài 2a)
Ta có
\(A=a^2+b^2+c^2=(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2-3-2(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow A=(a+b+c+3)^2-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]-3\)
\(\Leftrightarrow A=6-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]\)
Vì \(-1\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow a+1,b+1,c+1\geq 0\)
\(\Rightarrow (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)\geq 0\Rightarrow A\leq 6\)
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(-1,-1,2)\) và các hoán vị của nó
3 tháng 1 2019
3/ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có :
\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ab\right)^2}{\left(bc\right)^2}}=\dfrac{2a}{c}\)
\(\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(bc\right)^2}{\left(ac\right)^2}}=\dfrac{2b}{a}\)
\(\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ac\right)^2}{\left(ab\right)^2}}=\dfrac{2c}{b}\)
Cộng 3 vế của BĐT trên ta có :
\(2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\left(\text{đpcm}\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 1 2019
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2.bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2.ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2.ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c\)
Do đó:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
NM
3
