Cho a,b,c là các số thực thỏa:|a|<1;|a-c|<1008;|b-1|<1008.CMR: |ab-c|<2016
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 6 2019
Ta có: \(\frac{ab+c}{c+1}=\frac{ab+1-a-b}{c+a+b+c}=\frac{-b\left(1-a\right)+\left(1-a\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)
\(=\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}=\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{b+c}\right)=\frac{a+b+2c}{4}\)
Tương tự: \(\frac{bc+a}{a+1}=\frac{b+c+2a}{4}\)
\(\frac{ca+b}{b+1}=\frac{c+a+2b}{4}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(\frac{ab+c}{c+1}+\frac{bc+a}{a+1}+\frac{ca+b}{b+1}\le\frac{4a+4b+4c}{4}=a+b+c=1\)
24 tháng 6 2019
Thiếu:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\frac{1}{a+b}=\frac{1}{a+c};\frac{1}{a+c}=\frac{1}{b+c};\frac{1}{b+c}=\frac{1}{b+a};a+b+c=1\)
<=> a=b=c=1/3
N
0
NT
2
31 tháng 10 2019
đặt \(A=a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)
\(2A=2a\sqrt{b^3+1}+2b\sqrt{c^3+1}+2c\sqrt{a^3+1}\)
\(2A=2a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}+2b\sqrt{\left(c+1\right)\left(c^2-c+1\right)}+2c\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\)
\(\le2a.\frac{b+1+b^2-b+1}{2}+2b.\frac{c+1+c^2-c+1}{2}+2c.\frac{a+1+a^2-a+1}{2}\)
\(=a\left(b^2+2\right)+b\left(c^2+2\right)+c\left(a^2+2\right)=ab^2+bc^2+ca^2+2\left(a+b+c\right)=ab^2+bc^2+ca^2+6\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\le b\le c\), ta có :
\(a\left(c-b\right)\left(b-a\right)\ge0\Leftrightarrow abc+a^2b\ge ab^2+a^2c\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+bc^2\le abc+a^2b+bc^2\le2abc+a^2b+bc^2=b\left(a+c\right)^2\)
Mặt khác, theo BĐT Cô-si cho 3 số dương :
\(b\left(a+c\right)^2=4b.\frac{a+c}{2}.\frac{a+c}{2}\le\frac{4}{27}\left(b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}\right)^3=\frac{4}{27}.\left(a+b+c\right)^3=4\)
\(\Rightarrow2A\le10\Rightarrow A\le5\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\le b\le c;a+b+c=3\\abc=2abc\\2b=a+c\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=1\\c=2\end{cases}}}\)
31 tháng 10 2019
cho mình sửa lại là cái đoạn giả sử \(a\le b\le c\)
mình sẽ giả sử \(\orbr{\begin{cases}a\ge c\ge b\\b\ge c\ge a\end{cases}}\) \(\Rightarrow b\left(a-c\right)\left(c-b\right)\ge0\)( cả 2 Th )
rồi giải ra tương tự như dưới ấy là được
DM
2
7 tháng 11 2017
Ta có : (a-b)^2 >= 0 với mọi a,b
<=> a^2-2ab+b^2 >= 0
<=> a^2+b^2 >= 2ab
<=> a^2+2ab+b^2 >= 4ab
<=> (a+b)^2 >= 4ab
Với a,b > 0 thì ta chia 2 vế cho ab .(+b) được :
a+b/ab >= 4/a+b
<=>1/a + 1/b >=4ab
Áp dụng bđt trên thì A >= 4/(a^2+b^2+2ab) = 4/(a+b)^2 >= 4/1^2 = 4
Dấu "=" xảy ra <=> a=b ; a+b =1 <=> a=b=1/2
Vậy Min A = 4 <=> x = y= 1/2
DA
19 tháng 4 2022
`a+ble1<=>(a+b)^2le1`
Áp dụng bđt `1/(a)+1/bge4/(a+b)` ta có:
`Age4/(a^2+2ab+b^2)=4/(a+b)^2=4/1=4`
Dấu `=` xảy ra khi:`a^2+b^2=2ab<=>(a-b)^2=0<=>a=b` và `a+b=1`
`<=>a=b=1/2`
Vậy GTNN của `A=4` khi và chỉ khi `a=b=1/2`
TD
1
T
14 tháng 3 2019
Ta có BĐT \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) (tự c/m)
Áp dụng vào,ta có: \(\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}\le\frac{ab}{4\left(c+a\right)}+\frac{ab}{4\left(c+b\right)}\) (Làm tắt,ráng hiểu)
Chứng minh tương tự và cộng theo vế:
\(VT\le\frac{a}{4}+\frac{b}{4}+\frac{c}{4}=\frac{a+b+c}{4}=\frac{1}{4}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Ta có:
|a| < 1 và |b - 1| < 1008
=> |a|.|b - 1| < 1008
<=> |ab - a| < 1008
Ta lại có:
|ab - c| = |ab - a + a - c| \(\le\) |ab - a| + |a - c|
< 1008 + 1008 = 2016