Cho x, y thuộc Q và x + y, xy đều là số nguyên. Chứng minh x, y đều là số nguyên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
S
2
T
15 tháng 4 2019
Theo đề bài,đặt \(x+y=k\inℤ\) (1)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\left(x+y\right).\frac{1}{xy}=k.\frac{1}{xy}\)
Do k nguyên (theo (1)) nên để \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) nguyên thì \(\frac{1}{xy}\) nguyên
Nên \(xy\inƯ\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)
Suy ra \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right),\left(-1;-1\right),\left(1;-1\right),\left(-1;1\right)\)
Đúng không ta?
VT
29 tháng 12 2017
giả sử x và y đều không chia hết cho 3
\(\hept{\begin{cases}x^4\equiv1\left(mod3\right)\\y^4\equiv1\left(mod3\right)\end{cases}\Rightarrow x^4+y^4\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{15}\notin N}\)
=> x và y đều phải chi hết cho 3
tương tự sử dụng với mod 5, ( lũy thừa bậc 4 của 1 số luôn đồng dư với 0 hoạc 1 theo mod5 )
=> x và y đề phải chia hết cho 5
=> x,y đều chia hết cho 15
mà số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho 15 là 15 => x=y=15
thay vào và tìm min nhé
12 tháng 7 2023
\(\left(x-y\right)^2+2xy⋮4\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2+2xy⋮4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2⋮4\)
\(\Rightarrow x^2⋮4;y^2⋮4\)
mà \(4⋮2\)
\(\Rightarrow x^2⋮2;y^2⋮2\Rightarrow x⋮2;y⋮2\)
\(\Rightarrow dpcm\)
12 tháng 7 2023
Bài làm của bạn Trí từ chỗ \(x^2+y^2⋮4\Rightarrow x^2,y^2⋮4\) thì bạn còn phải xét thêm trường hợp \(x,y\) cùng lẻ nữa. Vì số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 nên nếu \(x,y\) lẻ thì \(x^2+y^2\) chia 4 dư 2, không thỏa mãn. Vậy mới suy ra được \(x^2,y^2⋮4\). Còn lại bạn đúng hết rồi.
26 tháng 10 2016
trong vở bài tập toán lớp 7 tập 1 xoắn 11 bài 115 có bài tương tự đó bạn
Dễ thấy trong hai số không thể có 1 số nguyên, 1 số không nguyên.
Giả sử hai số đều không nguyên.
Đặt \(x=\dfrac{b}{d},y=\dfrac{c}{e}\) với \(b,c,d,e\inℤ^∗;\left(b,d\right)=1;\left(c,e\right)=1;d,e>0;d,e\ne1\).
Ta có: \(x+y=\dfrac{b}{d}+\dfrac{c}{e}=\dfrac{be+cd}{de}\inℤ\)
suy ra
\(\left\{{}\begin{matrix}be+cd⋮d\\be+cd⋮e\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}be⋮d\\cd⋮e\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}e⋮d\\d⋮e\end{matrix}\right.\) (vì \(\left(b,d\right)=1;\left(c,e\right)=1\))
do đó \(d=e\).
\(xy=\dfrac{bc}{d^2}\) mà có \(\left(b,d\right)=1,\left(c,d\right)=1\Rightarrow\left(bc,d^2\right)=1\)
nên \(xy=\dfrac{bc}{d^2}\notinℤ\) (mâu thuẫn).
Suy ra đpcm.