Cho P, P+4 là 2 SNT (P>3). CMR P+8 là hợp số.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CV
2
AH
3 tháng 11 2016
Ví p là SNT > 3
=> p có dạng 3q + 1 hoặc 3p + 2
+ Xét p = 3p + 2
Ta có :
p + 4 = 3p + 2 + 4 = 3 p + 6 = 3 ( p + 2 )
Vì 3 ( p + 2 ) chia hết cho 3 nên p + 4 là hợp số
=> loại p = 3p + 2
Vậy p = 3q + 1
Ta có :
p + 8 = 3q + 1 + 8 = 3q + 9 = 3 ( q + 3 )
Ví 3 ( q + 3 ) chia hết cho 3
Mà p + 8 > 3
=> p + 8 là hợp số
Vậy p + 8 là hợp số
FD
1
4 tháng 9
Bài 1:
a: p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2
Nếu p=3k+1 thì 8p+1=8(3k+1)+1=24k+8+1=24k+9=3(8k+3)⋮3
=>Loại
=>p=3k+2
4p+1=4(3k+2)+1
=12k+8+1
=12k+9
=3(4k+3)⋮3
=>4p+1 là hợp số
b: TH1: p=3
\(2p^2+1=2\cdot3^2+1=2\cdot9+1=18+1=19\) là số nguyên tố
=>Nhận
\(7p+2=7\cdot3+2=21+2=23\) là số nguyên tố
TH2: p=3k+1
\(2p^2+1=2\left(3k+1\right)^2+1=2\left(9k^2+6k+1\right)+1\)
\(=18k^2+12k+2+1=18k^2+12k+3=3\left(6k^2+4k+1\right)\) ⋮3
=>Loại
TH3: p=3k+2
\(2p^2+1=2\left(3k+2\right)^2+1\)
\(=2\left(9k^2+12k+4\right)+1\)
\(=18k^2+24k+8+1=18k^2+24k+9=3\left(6k^2+8k+3\right)\) ⋮3
=>Loại
TH
Trần Hoàng Trung
VIP
4 tháng 9
Bài 1
a) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng \(8 p + 1\) là số nguyên tố. Chứng minh \(4 p + 1\) là hợp số.
Chứng minh \(8 p + 1\) là số nguyên tố:
- Ta có \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3, vậy \(p \geq 5\).
- Xét biểu thức \(8 p + 1\). Ta sẽ thử một số giá trị của \(p\):
- Nếu \(p = 5\), ta có:
\(8 p + 1 = 8 \left(\right. 5 \left.\right) + 1 = 41\)
\(41\) là số nguyên tố. - Nếu \(p = 7\), ta có:
\(8 p + 1 = 8 \left(\right. 7 \left.\right) + 1 = 57\)
\(57\) không phải là số nguyên tố vì \(57 = 3 \times 19\). - Nếu \(p = 11\), ta có:
\(8 p + 1 = 8 \left(\right. 11 \left.\right) + 1 = 89\)
\(89\) là số nguyên tố.
- Nếu \(p = 5\), ta có:
Vậy, không phải mọi \(p\) thỏa mãn điều kiện bài toán đều tạo ra \(8 p + 1\) là số nguyên tố. Ta không thể chứng minh điều này với mọi \(p\). Nên bài toán này có thể cần điều kiện bổ sung hoặc có thể có lỗi trong cách đặt bài toán.
Chứng minh \(4 p + 1\) là hợp số:
- Ta có \(p \geq 5\), vậy xét \(4 p + 1\):
- Nếu \(p = 5\), ta có:
\(4 p + 1 = 4 \left(\right. 5 \left.\right) + 1 = 21\)
\(21\) là hợp số vì \(21 = 3 \times 7\). - Nếu \(p = 7\), ta có:
\(4 p + 1 = 4 \left(\right. 7 \left.\right) + 1 = 29\)
\(29\) là số nguyên tố. - Nếu \(p = 11\), ta có:
\(4 p + 1 = 4 \left(\right. 11 \left.\right) + 1 = 45\)
\(45\) là hợp số vì \(45 = 3 \times 15\).
- Nếu \(p = 5\), ta có:
Như vậy, không phải mọi giá trị của \(p\) thỏa mãn điều kiện \(p\) đều tạo ra \(4 p + 1\) là hợp số. Ta không thể chứng minh điều này cho mọi \(p\) mà không có điều kiện bổ sung.
b) Chứng minh \(p\) và \(2 p^{2} + 1\) là các số nguyên tố. Hỏi \(7 p + 2\) là số nguyên tố hay hợp số?
Giả sử \(p\) là số nguyên tố và \(2 p^{2} + 1\) là số nguyên tố. Ta sẽ thử một số giá trị của \(p\).
- Nếu \(p = 5\), ta có:
\(2 p^{2} + 1 = 2 \left(\right. 5 \left.\right)^{2} + 1 = 2 \left(\right. 25 \left.\right) + 1 = 51\)
\(51\) không phải là số nguyên tố vì \(51 = 3 \times 17\).
Như vậy, không phải mọi \(p\) thỏa mãn điều kiện bài toán đều tạo ra \(2 p^{2} + 1\) là số nguyên tố. Ta không thể chứng minh điều này với mọi giá trị của \(p\).
Bài 2
Cho số tự nhiên \(n > 2\) và không chia hết cho 3. Chứng minh rằng hai số \(n^{2} - 1\) và \(n^{2} + 1\) không thể đồng thời là số nguyên tố.
Chứng minh:
- Gọi \(p = n^{2} - 1\) và \(q = n^{2} + 1\).
- Ta biết \(p = n^{2} - 1 = \left(\right. n - 1 \left.\right) \left(\right. n + 1 \left.\right)\).
- Nếu \(n\) là số nguyên lớn hơn 2, thì \(p = n^{2} - 1\) sẽ là một tích của hai số nguyên lớn hơn 1, do đó \(p\)là hợp số, không phải là số nguyên tố.
- Do đó, \(p = n^{2} - 1\) không thể là số nguyên tố.
- Tiếp theo, ta xét \(q = n^{2} + 1\).
- \(n^{2} + 1\) có thể là số nguyên tố hoặc hợp số tùy thuộc vào giá trị của \(n\), nhưng không thể có cả \(p = n^{2} - 1\) và \(q = n^{2} + 1\) cùng là số nguyên tố.
Kết luận: Do \(p = n^{2} - 1\) không thể là số nguyên tố, nên \(n^{2} - 1\) và \(n^{2} + 1\) không thể đồng thời là số nguyên tố.
Bài 3
Ta gọi \(p\) và \(q\) là hai số nguyên tố liên tiếp nếu giữa \(p\) và \(q\) không có số nguyên tố nào khác (ví dụ: \(7\) và \(11\) là hai số nguyên tố liên tiếp). Tìm ba số nguyên tố liên tiếp \(p\), \(q\), \(r\) sao cho \(p^{2} + q^{2} + r^{2}\) cũng là số nguyên tố.
Giải:
Ta sẽ thử một số bộ ba số nguyên tố liên tiếp nhỏ:
- Nếu \(p = 3\), \(q = 5\), \(r = 7\), ta có:
\(p^{2} + q^{2} + r^{2} = 3^{2} + 5^{2} + 7^{2} = 9 + 25 + 49 = 83\)
\(83\) là số nguyên tố.
Vậy ba số nguyên tố liên tiếp \(p = 3\), \(q = 5\), \(r = 7\) thỏa mãn điều kiện bài toán, vì \(p^{2} + q^{2} + r^{2} = 83\) là số nguyên tố.
Kết luận: Ba số nguyên tố liên tiếp \(p = 3\), \(q = 5\), \(r = 7\) sao cho \(p^{2} + q^{2} + r^{2} = 83\) là số nguyên tố.
31 tháng 10 2015
Vì p là số nguyên tố, p>3 nên p có một trong 2 dạng sau:
p=3k+1( k thuộc N*)
p=3k+2(k thuộc N*)
Nếu p=3k+2 ta có:
3k+2+4=3k+6=3(k+2) chia hết cho 3=> là hợp số(loại) vì p+4 là số nguyên tố
Nếu p=3k+1 ta có:
3k+1+8=3k+9=3(k+3) là hợp số phù hợp với đề bài
Vậy số nguyên tố p có dạng 3k+1 thì p+8 là hợp số.
Tick nha
31 tháng 10 2015
Vì p là số nguyên tố, p>3 nên số p có 1 trong 2 dạng:
p=3k+1(k thuộc N*)
p=3k+2(k thuộc N*)
Thử vảo là xong
8 tháng 1 2017
Cac Snt >3 deu co dang 6k+1;6k+2;6k+3;6k+4;6k+5
Neu p=6k+2 thi chia het cho 2
Neu p= 6k+3thi chia het cho 3
Neu p =6k+4 thi chia het cho 2
Vay p chi co the =6k+1 hoac 6k+5
7 tháng 11 2018
bài 3 nè : ta có a=42q+r=2*3*7q+r(q,r thuộc N,0<r<42 Vì a là SNT nên r ko chia hết cho 2,3,7 tìm các hợp số <42 loại chia hết cho 3,7 còn 25 r=25
HT
1
MS
1
4 tháng 1 2018
p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p = 3k + 1 hoặc 3k + 2 nhưng do p + 4 là số nguyên tố nên p không có dạng 3k + 2
+ Nếu p có dạng 3k + 1 thì p + 8 có dạng : ( 3k + 1 ) + 8 = 3k + 9 chia hết cho 3 là hợp số
Vậy p + 8 là hợp số ( dpcm )
4 tháng 11 2015
1)
+)Xét trường hợp p=2 =>p+6= 8 là hợp số (trái với giả thiết)
+) Xét trường hợp p=3 =>p+12=15 là hợp số (trái với giả thiết)
+)Xét trường hợp p>3 =>p có một trong hai dạng :3k+1 ; 3k+2
Nếu p= 3k+1 =>p+8=3k+8+1=3k+9 chia hết cho 3
=>p+8 là hợp số (trái với giả thiết )
Vậy p phải có dạng là 3k+2
Nếu p=3k+2 =>p+4 = 3k+2+4 = 3k+6 =3.(k+2)=>p+4 chia hết cho 3
=>p+4 là hợp số (đpcm)
Vi P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên P không chia hết cho 3 \(\Rightarrow\)P = 3k + 1 hoặc 3k + 2
+)Nếu P = 3k + 2 thì P + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên P + 4 là hợp số (loại)
+)Nếu P = 3k + 1 thì P + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên P + 8 là hợp số (đpcm)