Question

[vu dang]

chứng tỏ ; \(y=\frac{1}{2^2}\)+ \(\frac{1}{3^2}\)+\(\frac{1}{4^2}\)+\(\frac{1}{5^2}\)+\(\frac{1}{6^2}\)+\(\frac{1}{7^2}\)+\(\frac{1}{8^2}\)+...\(\frac{1}{100^2}\)<1

Answer 1

[Phạm Ngọc Thạch]

Ta có: \(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1.2}\) ;  \(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2.3}\);  ... ; \(\frac{1}{100^2}<\frac{1}{99.100}\) (chung tử, mẫu nào lớn hơn thì bé hơn)

  Cộng vế theo vế ta được:  \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\)

 Mà  \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+...+\left(\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)\)***

                                                       \(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)( -1/2 +1/2= 0 ; ...; -1/99+1/99=0)

                                                       \(=1-\frac{1}{100}<1\)

      Do đó : \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}<1\)

 Vậy y <1 

  ***Chú ý: \(\frac{1}{1.2}=\frac{2-1}{1.2}=\frac{2}{1.2}-\frac{1}{1.2}=1-\frac{1}{2}\).... các phân số khác làm tương tự như: \(\frac{1}{99.100}=\frac{100-99}{99.100}=\frac{100}{99.100}-\frac{99}{99.100}=\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)***

Answer 2

[Ngô Hoàng Tuấn Anh]

1/345