Cho: x+y=2. Chứng minh rằng xy\(\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 1 2018
Đặt : A = 1/x^2+xy + 1/y^2+xy
Có : A = 1/x.(x+y) + 1/y.(x+y) = 1/x + 1/y ( vì x+y = 1 )
Áp dụng bđt 1/a + 1/b >= 4/a+b với mọi a,b > 0 cho x,y > 0 thì :
A >= 4/x+y = 4/1 = 4
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2
=> ĐPCM
Tk mk nha
N
5
6 tháng 4 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, ta có :
\(VT=\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}=\frac{1}{x^2+xy}+4\left(x^2+xy\right)+\frac{1}{y^2+xy}+4\left(y^2+xy\right)-4\left(x+y\right)^2\)
\(VT\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2+xy}.4\left(x^2+xy\right)}+2\sqrt{\frac{1}{y^2+xy}+4\left(y^2+xy\right)}-4=4\)
=> đpcm
6 tháng 4 2018
ta chứng minh BĐT phụ sau:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) cái này thì bạn tự cm nhé
Áp dụng BĐT trên
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Mà \(x+y\le1\Rightarrow\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{4}{1}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge4\left(đpcm\right)\)
6 tháng 4 2018
Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki dạng phân thức: (ko cần CM) Với a, b, x, y thuộc R thì \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Áp dụng bất đăng thức Bu-nhi-a-cốp-xki dạng phân thức ta có:
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\) (1)
Ta lại có: x + y <= 1 => (x + y)2 <= 1
=> \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{4}{1}=4\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge4\)
=> đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 9 2021
\(VT=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{4039}{2xy}\)
\(VT\ge\dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}+\dfrac{4039}{2.\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2}=\dfrac{8082}{\left(x+y\right)^2}\ge\dfrac{8082}{1^2}=8082\)
PT
3
HP
22 tháng 11 2016
x+y=2 => x=2-y
Có \(x.y=\left(2-y\right).y=2y-y^2=-y^2+2y=-\left(y^2-2y+1-1\right)=-\left[\left(y-1\right)^2-1\right]=1-\left(y-1\right)^2\le1\) Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1
x+y=2
<=> x=2-y(1)
giả sử x*y≤1
<=>(2-y)y≤1
<=>y^2 - 2y +1≥0
<=> (y-1)^2≥0
<=>y≥1(2)
từ (1),(2)=> x*y≤1