Cho \(\Delta ABC\) có 3 góc nhọn, \(AD\) là phân giác của góc \(A\).
C/m: \(AD^2\) < AB.AC
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
SN
2
29 tháng 5 2021
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(BC\)không chứa \(A\)lấy tia \(Cx\)sao cho \(\widehat{BAD}=\widehat{BCx}\).
Kéo dài \(AD\)cắt \(Cx\)tại \(E\).
Xét \(\Delta DAB\)và \(\Delta DCE\)có:
\(\widehat{ADB}=\widehat{CDE}\)(vì đối đỉnh).
\(\widehat{BAD}=\widehat{BCE}\)(hình vẽ trên).
\(\Rightarrow\Delta DAB~\Delta DCE\left(g.g\right)\).
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{CED}\)(2 góc tương ứng).
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{CEA}\)
Và \(\frac{AD}{CD}=\frac{DB}{DE}\)(tỉ số đồng dạng).
\(\Rightarrow AD.DE=BD.CD\)\(\left(1\right)\).
Xét \(\Delta BAD\)và \(\Delta EAC\)có:
\(\widehat{BAD}=\widehat{EAC}\)(giả thiết).
\(\widehat{ABD}=\widehat{AEC}\)(chứng minh trên).
\(\Rightarrow\Delta BAD~\Delta EAC\left(g.g\right)\).
\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AE}\)(tỉ số đồng dạng).
\(\Rightarrow AD.AE=AB.AC\)\(\left(2\right)\).
Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\).
\(\Rightarrow AD.AE-AD.DE=AB.AC-BD.CD\).
\(\Rightarrow AD\left(AE-DE\right)=AB.AC-BD.CD\).
\(\Rightarrow AD.AD=AB.AC-BD.CD\).
\(\Rightarrow AD^2=AB.AC-BD.CD\)(điều phải chứng minh).
A
13 tháng 1 2019
B H C A d b A B D C E
1.Vẽ AH \(\perp\)BC;H\(\in\)BC
+, Xét D nằm trên đoạn thẳng HC
\(\Delta HAB\)có \(\widehat{H}\)= 900 Theo định lý Pytago ta có:
\(AH^2+BH^2=AB^2\Rightarrow AH^2=c^2-BH^2\)
\(\Delta HAD\)có \(\widehat{H}\)=900,theo định lý Pytago tacó:
\(AH^2+DH^2=AD^2\Rightarrow AH^2=d^2-DH^2\)
Do đó \(d^2-DH^2=c^2-BH^2\Rightarrow d^2=c^2+DH^2-BH^2\)
\(\Rightarrow d^2=c^2+BD\left(DH-BH\right)\Rightarrow d^2n=c^2n+mn\left(DH-BH\right)\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(d^2m=b^2m+mn\left(-DH-CH\right)\)
Ta có: \(d^2m+b^2m+c^2n+mn\left(-DH-CH+DH-BH\right)\)
\(d^2\left(m+n\right)=b^2m+c^2n+mn\left(-CH-BH\right)\)
\(d^2a=b^2m+c^2n-amn\)
+, Xét D nằm trên đoạn thẳng HB
Chứng minh tương tự trên ta cũng có \(d^2a=b^2m+c^2n-amn\)
2.\(\widehat{ADC}>\widehat{ABC}\) (ADC là góc ngoài của tam giác ABD)
Do đó vẽ E trên cạnh AC sao cho góc ADE =góc ABC
ta có AE<AC
XÉT tam giác ABD và tam gác ADE có : góc BAD = góc DAE(AD phân giác)
góc ABD=góc ADE
do đó \(\Delta ABD\infty\Delta ADE\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow AD^2=AB.AE\)
do đó \(AD^2< AB.AC\)
c/m AD^2 < AB.AC