Question

[Nguyễn Nghĩa Minh]

Tìm x,y nguyên thỏa mãn x²+y²=x+6

Answer 1

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

x² + y² = x + 6

<=> 4x² + 4y² = 4x + 24

<=> ( 4x² - 4x + 1 ) + 4y² = 25

<=> ( 2x - 1 )² + 4y² = 25

Vì VT là tổng hai bình phương nên VP cũng phải là tổng hai bình phương

Ta có : 25 = 0 + 25 = 0 + (±5)²

                 = 9 + 16 = (±3)² + (±4)²

Đến đây bạn xét các TH là ra ( hơi lâu đấy nhưng cần cù bù siêng năng mà :)) )

Answer 2

[Phạm Thành Đông]

\(x^2+y^2=x+6\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-6=-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+2\right)=-y^2\)

Mà\(-y^2\le0\forall y\)

 \(\left(x-3\right)\left(x+2\right)\le0\)

Mà \(x+2>x-3\forall x\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-3\le0\\x+2\ge0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\le3\\x\ge-2\end{cases}}\Rightarrow-2\le x\le3\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{-2;-1;0;1;2;3\right\}\)( vì \(x\in Z\))

- Với \(x=-2\)thì:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(-2-3\right)\left(-2+2\right)=-y^2\)

\(\Leftrightarrow-y^2=0\Leftrightarrow y^2=0\Leftrightarrow y=0\)(thỏa mãn vì \(y\in Z\))

- Với \(x=-1\)thì:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(-1-3\right)\left(-1+2\right)=-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(-4\right).1=-y^2\Leftrightarrow-4=-y^2\Leftrightarrow y^2=4\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=2\\y=-2\end{cases}}\)(thỏa mãn vì \(y\in Z\))

- Với \(x=0\)thì:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(0-3\right)\left(0+2\right)=-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(-3\right).2=-y^2\Leftrightarrow-6=y^2\Leftrightarrow y^2=6\)(loại vì 6 không là số chính phương của bất kì số nguyên nào)

- Với \(x=1\)thì:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(1-3\right)\left(1+2\right)=-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(-2\right).3=-y^2\Leftrightarrow-6=-y^2\Leftrightarrow y^2=6\)(loại vì 6 không là số chính phương của bất kì số nguyên nào).

- Với \(x=2\)thì:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(2-3\right)\left(2+2\right)=-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(-1\right).4=-y^2\)

\(\Leftrightarrow-4=-y^2\Leftrightarrow y^2=4\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=2\\y=-2\end{cases}}\)(thỏa mãn vì \(y\in Z\))

- Với \(x=3\)thì:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(3-3\right)\left(3+2\right)=-y^2\)

\(\Leftrightarrow0=-y^2\Leftrightarrow y^2=0\Leftrightarrow y=0\)(thỏa mãn vì \(y\in Z\))

Vậy phương trình có tập nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(-2;0\right);\left(-1;2\right);\left(-1;-2\right);\left(2;2\right);\left(2;-2\right);\left(3;0\right)\)