2/3'2+2/4'2+2/5'2+...+2/100'2<1/2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TM
0
25 tháng 8 2023
\(A=1^2+3^2+5^2+...+99^2\)
=>\(A=\left(1^2+2^2+...+99^2+100^2\right)-\left(2^2+4^2+...+100^2\right)\)
\(=\left(1^2+2^2+...+100^2\right)-4\left(1^2+2^2+...+50^2\right)\)
\(=\dfrac{100\cdot\left(100+1\right)\left(100\cdot2+1\right)}{6}-4\cdot\dfrac{50\cdot\left(50+1\right)\left(50\cdot2+1\right)}{6}\)
\(=166650\)
21 tháng 2 2020
Bạn ơi, mk sử đề lại chút, chả bt bn có phải đánh nhầm không ( chỗ dấu "+" với dấu "." này ý)
sửa: 1+3+3^2+...+3^18.3^19 thành 1+3+3^2+...+3^18+3^19
Ta có: S = 1+3+3^2+...+3^18+3^19
\(\Rightarrow\) 3S = 3.(1+3+3^2+...+3^18+3^19)
3S = 3+3^2+...+3^19+3^20
\(\Rightarrow\)3S - S = (3+3^2+...+3^19+3^20) - (1+3+3^2+...+3^18+3^19)
2S = 3+3^2+...+3^19+3^20 - 1- 3- 3^2- ...- 3^18- 3^19
2S = 3^20 - 1
S = (3^20 - 1) : 2
( Kquả ta nên để dưới dạng phân số cung đc )
2 tháng 6 2018
a) \(\left(4\frac{1}{2}-2x\right)\cdot3\frac{2}{3}=\frac{11}{5}\)
\(\left(\frac{9}{2}-2x\right)=\frac{11}{5}\cdot\frac{3}{11}\)
\(2x=\frac{45-6}{10}\)
\(2x=\frac{39}{10}\)
\(x=\frac{39}{10\cdot2}=\frac{39}{20}\)
b) \(\frac{3}{4}\cdot x+\frac{4}{7}\cdot x=-\frac{15}{8}\)
\(x\cdot\left(\frac{21+16}{28}\right)=-\frac{15}{8}\)
\(x=-\frac{15}{8}\cdot\frac{28}{37}\)
\(x=-\frac{105}{74}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 2 2017
Bài 1
Đặt \(A=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)\)
Biến đổi:
\(A=a^3+b^3+c^3-3[abc-(ab+bc+ac)+a+b+c-1]=a^3+b^3+c^3-3abc+3(ab+bc+ac)-6\)
\(A=(a+b+c)^3-3[(a+b)(b+c)(c+a)+abc]-6+3(ab+bc+ac)\)
\(A=21-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3(ab+bc+ac)=21-6(ab+bc+ac)\)
Áp dụng BĐT Am-Gm:
\(3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=9\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3\)
\(\Rightarrow A\geq 21-6.3=3\). Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Vì \(0\leq a,b,c\leq2\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4\leq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4+abc\geq 0\Rightarrow ab+bc+ac\geq 2\)
\(\Rightarrow A\leq 21-6.2=9\). Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 2 2017
Bài 2a)
Ta có
\(A=a^2+b^2+c^2=(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2-3-2(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow A=(a+b+c+3)^2-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]-3\)
\(\Leftrightarrow A=6-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]\)
Vì \(-1\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow a+1,b+1,c+1\geq 0\)
\(\Rightarrow (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)\geq 0\Rightarrow A\leq 6\)
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(-1,-1,2)\) và các hoán vị của nó
S
14 tháng 5 2017
a, Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};...;\frac{1}{2017^2}< \frac{1}{2016.2017}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2017^2}>\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2016.2017}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}=1-\frac{1}{2017}< 1\)Vậy...
b, Đặt A = \(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{36}+...+\frac{1}{10000}\)
\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{100^2}\)
\(A=\frac{1}{2^2}\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}\right)\)
Đặt B = \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}\)
Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};.....;\frac{1}{50^2}< \frac{1}{49.50}\)
\(\Rightarrow B< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}=1-\frac{1}{50}< 1\)
Thay B vào A ta được:
\(A< \frac{1}{4}\left(1+1\right)=\frac{1}{4}.2=\frac{1}{2}\)
Vậy....
S
14 tháng 5 2017
c, Ta có: \(\frac{1}{2^2}>\frac{1}{2.3};\frac{1}{3^2}>\frac{1}{3.4};....;\frac{1}{9^2}>\frac{1}{9.10}\)
\(\Rightarrow A>\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{9.10}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}\)(1)
Lại có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};....;\frac{1}{9^2}< \frac{1}{8.9}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{8.9}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{2}{5}< A< \frac{8}{9}\)(đpcm)
d, chắc là đề sai
e, giống câu a
ta có : 2/3'2 < 2/2.3 ; 2/4'2<2/3.4 ... ;2/100'2<2/99.100
nen 2/3'2 +2/4'2+...+2/100'2<2/2.3+2/3.4+...+2/99.100 (1)
ta có 2/2.3+2/3.49+...+2/99.100
=2.(1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/99-1/100)
=2.(1/2-1/100)
=2.(50/100-1/100)
=2.49/100
ma 1>49/100
nen 1>1/2-1/3+...+1/99-1/100 (2)
tu(1) va (2) suy ra 2/3'2+...+2/100'2 >1