chứng minh rằng với a, b, c > 0 thì a2/b+c + b2/c + a +c2/a+b_>a+b+c /2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
26 tháng 3 2020
Rất khủng khiếp (tại cái chương trình của em nó xấu:v) nhưng nó là một cách chứng minh:
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\frac{27\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2\ge\frac{27\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\)
Sau khi quy đồng, ta cần chứng minh biểu thức sau đây không âm:
Hiển nhiên đúng vì \(x=min\left\{x,y,z\right\}\)
12 tháng 1 2022
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\Rightarrow ac=b^2\)
\(\dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\dfrac{a^2+ac}{ac+c^2}=\dfrac{a\left(a+c\right)}{c\left(a+c\right)}=\dfrac{a}{c}\)
NT
2
N
0
HN
1
20 tháng 8 2023
Ta có :
\(\left(a-b-c\right)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ac\)
mà theo đề bài \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b-c\right)^2=-ab-bc-ac=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b-c\right)^2=-\left(ab+bc+ac\right)=0\)
mà \(-\left(ab+bc+ac\right)\le0\)
\(\Rightarrow a=b=c=0\)
\(\Rightarrow dpcm\)
NC
17 tháng 8 2020
a) Áp dụng Cauchy Schwars ta có:
\(M=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1
NC
17 tháng 8 2020
b) \(N=\frac{1}{a}+\frac{4}{b+1}+\frac{9}{c+2}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{36}{6}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=1
Áp dụng bất đẳng thức cô-si, ta có:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2.\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}\)
=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2.\sqrt{\frac{a^2}{4}}\)
=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2.\frac{a}{2}\)
=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge a\)
Tương tự, ta có:
\(\frac{b^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge b\)
\(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c\)
=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge a+b+c\)
=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\left(\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}+\frac{a+b}{4}\right)\ge a+b+c\)
=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{b+c+c+a+a+b}{4}\ge a+b+c\)
=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{2.\left(a+b+c\right)}{2}\)
=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{2.\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{a+b+c}{2}\)
=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{a^2}{b+c}=\frac{b+c}{4}=>4.a^2=\left(b+c\right)^2=>2a=b+c=>3a=a+b+c\)
\(\frac{b^2}{c+a}=\frac{c+a}{4}=>4.b^2=\left(c+a\right)^2=>2b=c+a=>3b=a+b+c\)
\(\frac{c^2}{a+b}=\frac{a+b}{4}=>4.c^2=\left(a+b\right)^2=>2c=a+b=>3c=a+b+c\)
=>3a=3b=3c=a+b+c
=>a=b=c
=>ĐPCM
Áp dụng BĐT schwarz:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)