cho x, y >0 và \(x^2+y^2=1\)
Tính GTNN, GTLN của \(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 5 2021
Ta có \(x,y\le1\) nên \(1\le\sqrt{1+2x}\le\sqrt{3}\).
Suy ra \(\left(\sqrt{1+2x}-1\right)\left(\sqrt{1+2x}-\sqrt{3}\right)\le0\Rightarrow\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{1+2x}\ge1+2x+\sqrt{3}\).
Tương tự \(\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{1+2y}\ge1+2y+\sqrt{3}\).
Suy ra \(\left(\sqrt{3}+1\right)P\ge2+2\sqrt{3}+2\left(x+y\right)\).
Mà \(\left(x+y\right)^2\ge x^2+y^2=1\Rightarrow x+y\le1\Rightarrow\left(\sqrt{3}+1\right)P\ge2+2\sqrt{3}+2=4+2\sqrt{3}\Rightarrow P\ge\sqrt{3}+1\).
Dấu "=" xảy ra khi x = 0; y = 1 hoặc x = 1; y = 0.
MT
2 tháng 2 2016
câu a) rút x theo y thế vào A rồi áp dụng HĐT
b)rút xy thế vào B
c)HĐT
d)rút x theo y thé vào C
rồi dùng BĐT cô-si
e)BĐT chưa dấu giá trị tuyệt đối
10 tháng 4 2017
Câu 2-Ta có x^2+y^2=5
(x+y)^2-2xy=5
Đặt x+y=S. xy=P
S^2-2P=5
P=(S^2-5)/2
Ta lại có P=x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=S^3-3SP=S^3-3S(S^2-5)/2
Rùi tự tính
10 tháng 4 2017
Câu1
Ta có P<=a+a/4+b+a/12+b/3+4c/3 (theo bdt cô sy)
=> P<=4/3(a+b+c)=4/3
Vậy Max p =4/3 khi a=4b=16c
KN
22 tháng 5 2020
Ta có: \(x^2\left(y+z\right)\ge x^2.2\sqrt{yz}=2\sqrt{x^4}.\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương y,z và sử dụng giả thiết xyz = 1)
Hoàn toàn tương tự: \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
Do đó \(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
\(\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(a=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\), \(b=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\), \(c=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\)
Suy ra: \(x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9}\), \(y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9}\), \(z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
Do đó \(P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\)
\(\ge\frac{2}{9}\left[4.3\sqrt[3]{\frac{c}{b}.\frac{a}{c}.\frac{b}{a}}+3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}-6\right]\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số dương)
\(=\frac{2}{9}\left[4.3+3-6\right]=2\)
Vậy \(P\ge2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 5 2020
\(2\sqrt{xy}+\sqrt{2x}+\sqrt{2y}\ge8\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{xy}\le x+y\\\sqrt{2x}+\sqrt{2y}\le2\sqrt{x+y}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x+y+2\sqrt{x+y}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y}-2\right)\left(\sqrt{x+y}+4\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x+y\ge4\)
\(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge x+y+\frac{4}{x+y}\)
\(P\ge\frac{x+y}{4}+\frac{4}{x+y}+\frac{3\left(x+y\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{4\left(x+y\right)}{4\left(x+y\right)}}+\frac{3.4}{4}=5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)
BT
17 tháng 11 2017
1/ Điều kiện: x>=2009.
Ta có: \(y=x-2\sqrt{x-2009}=\left(x-2009\right)-2\sqrt{x-2009}+1+2008.\)
=> \(y=\left(\sqrt{x-2009}-1\right)^2+2008\)
Do \(\left(\sqrt{x-2009}-1\right)^2\ge0\) => \(y=\left(\sqrt{x-2009}-1\right)^2+2008\ge2008\)(Với mọi x>=2009)
GTNN của y là: y=2008
Đạt được khi \(\left(\sqrt{x-2009}-1\right)^2=0\) <=> x-2009=1 <=> x=2010
2/ Ta có: x+y=6 => y=6-x. Đặt A=x2y
=> A=x2y=x2(6-x)=6x2-x3 = x(6x-x2)=x(9-9+6x-x2)=x[9-(x2-6x+9)] =x[9-(x-3)2]
Do x>0 và (x-3)2 >=0 => A đạt giá trị lớn nhất khi (x-3)2=0 <=> x=3
=> GTLN của A=x2y là 3.9=27 Đạt được khi x=y=3
GTNN
\(x^2+y^2=1=\left(x+y\right)^2-2xy\Rightarrow2xy=\left(x+y\right)^2-1\)
\(x;\text{ }y\ge0\Rightarrow x+y=\sqrt{x^2+y^2+2xy}\ge\sqrt{1+2xy}\ge1\)
\(A^2=2+2\left(x+y\right)+2\sqrt{\left(1+2x\right)\left(1+2y\right)}\)
\(=2+2\left(x+y\right)+2\sqrt{1+2\left(x+y\right)+4xy}\)
\(=2+2\left(x+y\right)+2\sqrt{1+2\left(x+y\right)+2\left(x+y\right)^2-2}\)
\(=2+2t+2\sqrt{2t^2+2t-1}\text{ }\left(t=x+y\ge1\right)\)
\(\ge2+2+2\sqrt{2.1^2+2.1-1}\)
\(=4+2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{4+2\sqrt{3}}=1+\sqrt{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x+y=1\Leftrightarrow xy=0\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(1;0\right);\left(0;1\right)\)
GTLN
Với 2 số thực bất kì, ta luôn có: \(\left(a+b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)-\left(a-b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(A^2\le2\left(1+2x+1+2y\right)=4+4\left(x+y\right)\le4+4\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=4+4\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow A\le\sqrt{4+4\sqrt{2}}\)
Dấu bằng xảy ra khi 2 biến bằng nhau.