cho x,y,z thỏa mãn 0<=x,y,z<=2
x+y+z=3
xác định giá trị lớn nhất của A=x^2+y^2+z^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TA
30 tháng 6 2017
Phải là giá trị nhỏ nhất nha bạn
Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel
\(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(y+z\right)+\left(z+x\right)+\left(x+y\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y+z}=\frac{y}{z+x}=\frac{z}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
F
30 tháng 6 2017
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge x\)
\(\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge y\)
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}=1\)
15 tháng 2 2020
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=x\)
\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{x+z}.\frac{x+z}{4}}\ge y\)
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}\ge z\)
Cộng từng vế các bđt trên ta được:
\(P+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy Min P=1 \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
T
11 tháng 5 2019
Em có cách này anh/chị check thử ạ.
Dự đoán xảy ra cực trị tại: x = 2; y = 1; z = 0
Áp dụng BĐT quen thuộc: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\),ta có: \(1\ge\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\ge\frac{9}{x+y+z+6}\)
\(\Rightarrow x+y+z+6\ge9\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
Đặt \(t=x+y+z\ge3\).Ta cần tìm min của: \(P\left(t\right)=t+\frac{1}{t}\) với \(t\ge3\)
Ta có: \(P\left(t\right)=t+\frac{1}{t}=\left(\frac{t}{9}+\frac{1}{t}\right)+\frac{8t}{9}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{t}{9}.\frac{1}{t}}+\frac{8t}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8t}{9}\ge\frac{2}{3}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}t=3\\\frac{1}{x+1}=\frac{1}{y+2}=\frac{1}{z+3}=\frac{1}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x+1=y+2=z+3=3\left(2\right)\end{cases}}\)
Giải (2) ta được x = 2; y = 1; z = 0 (t/m x + y + z = 3)
Vậy \(P_{min}=\frac{10}{3}\Leftrightarrow x=2;y=1;z=0\)
7 tháng 9 2021
\(4=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow\sqrt[3]{xyz}\le\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow xyz\le\dfrac{64}{27}\)(BĐT cauchy)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{4}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$xy\le \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{(4-z)^2}{4}$
$\Rightarrow H\leq \frac{z(4-z)^2}{4}$
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
$z(4-z)\leq \frac{(z+4-z)^2}{4}=4$
$4-z\leq 2$ do $z\geq 2$
$\Rightarrow \frac{z(4-z)^2}{4}\leq \frac{4.2}{4}=2$
Hay $H\leq 2$
Vậy $H_{\max}=2$ khi $(x,y,z)=(1,1,2)$
\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow xyz-2\left(xy+yz+xz\right)+4\left(x+y+z\right)-8\le0\)
\(\Leftrightarrow-2\left(xy+yz+xz\right)\le8-4\left(x+y+z\right)-xyz=8-4.3+0=-4\left(xyz\ge0\right)\)
\(A=x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+xz\right)\le3^2-4=5\)
\(max_A=5\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xyz=0\\\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)=0\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(x;y;z\right)=\left\{0;1;2\right\}\) \(và\) \(các\) \(hoán\) \(vị\)