Cho p và 2p+5 là các SNT (p>3). CM 2p+7 là hợp số
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LH
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021
Lời giải:
Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $5$ nên $p$ không chia hết cho $3$. Do đó $p$ có dạng $3k+1$ hoặc $3k+2$ với $k$ là số tự nhiên; $k\geq 2$.
Nếu $p=3k+1$ thì $2p+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)\vdots 3$ và $2p+1=3(2k+1)>3$ nên $2p+1$ không phải số nguyên tố (trái giả thiết).
Do đó $p=3k+2$.
Khi đó:
$p(p+5)+31=(3k+2)(3k+7)+31=9k^2+27k+45=9(k^2+3k+5)\vdots 9$ nên $p(p+5)+31$ là hợp số (đpcm)
7 giờ trước (10:23)
Bài 1:
a: p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2
Nếu p=3k+1 thì 8p+1=8(3k+1)+1=24k+8+1=24k+9=3(8k+3)⋮3
=>Loại
=>p=3k+2
4p+1=4(3k+2)+1
=12k+8+1
=12k+9
=3(4k+3)⋮3
=>4p+1 là hợp số
b: TH1: p=3
\(2p^2+1=2\cdot3^2+1=2\cdot9+1=18+1=19\) là số nguyên tố
=>Nhận
\(7p+2=7\cdot3+2=21+2=23\) là số nguyên tố
TH2: p=3k+1
\(2p^2+1=2\left(3k+1\right)^2+1=2\left(9k^2+6k+1\right)+1\)
\(=18k^2+12k+2+1=18k^2+12k+3=3\left(6k^2+4k+1\right)\) ⋮3
=>Loại
TH3: p=3k+2
\(2p^2+1=2\left(3k+2\right)^2+1\)
\(=2\left(9k^2+12k+4\right)+1\)
\(=18k^2+24k+8+1=18k^2+24k+9=3\left(6k^2+8k+3\right)\) ⋮3
=>Loại
TH
Trần Hoàng Trung
VIP
4 giờ trước (12:50)
Bài 1
a) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng \(8 p + 1\) là số nguyên tố. Chứng minh \(4 p + 1\) là hợp số.
Chứng minh \(8 p + 1\) là số nguyên tố:
- Ta có \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3, vậy \(p \geq 5\).
- Xét biểu thức \(8 p + 1\). Ta sẽ thử một số giá trị của \(p\):
- Nếu \(p = 5\), ta có:
\(8 p + 1 = 8 \left(\right. 5 \left.\right) + 1 = 41\)
\(41\) là số nguyên tố. - Nếu \(p = 7\), ta có:
\(8 p + 1 = 8 \left(\right. 7 \left.\right) + 1 = 57\)
\(57\) không phải là số nguyên tố vì \(57 = 3 \times 19\). - Nếu \(p = 11\), ta có:
\(8 p + 1 = 8 \left(\right. 11 \left.\right) + 1 = 89\)
\(89\) là số nguyên tố.
- Nếu \(p = 5\), ta có:
Vậy, không phải mọi \(p\) thỏa mãn điều kiện bài toán đều tạo ra \(8 p + 1\) là số nguyên tố. Ta không thể chứng minh điều này với mọi \(p\). Nên bài toán này có thể cần điều kiện bổ sung hoặc có thể có lỗi trong cách đặt bài toán.
Chứng minh \(4 p + 1\) là hợp số:
- Ta có \(p \geq 5\), vậy xét \(4 p + 1\):
- Nếu \(p = 5\), ta có:
\(4 p + 1 = 4 \left(\right. 5 \left.\right) + 1 = 21\)
\(21\) là hợp số vì \(21 = 3 \times 7\). - Nếu \(p = 7\), ta có:
\(4 p + 1 = 4 \left(\right. 7 \left.\right) + 1 = 29\)
\(29\) là số nguyên tố. - Nếu \(p = 11\), ta có:
\(4 p + 1 = 4 \left(\right. 11 \left.\right) + 1 = 45\)
\(45\) là hợp số vì \(45 = 3 \times 15\).
- Nếu \(p = 5\), ta có:
Như vậy, không phải mọi giá trị của \(p\) thỏa mãn điều kiện \(p\) đều tạo ra \(4 p + 1\) là hợp số. Ta không thể chứng minh điều này cho mọi \(p\) mà không có điều kiện bổ sung.
b) Chứng minh \(p\) và \(2 p^{2} + 1\) là các số nguyên tố. Hỏi \(7 p + 2\) là số nguyên tố hay hợp số?
Giả sử \(p\) là số nguyên tố và \(2 p^{2} + 1\) là số nguyên tố. Ta sẽ thử một số giá trị của \(p\).
- Nếu \(p = 5\), ta có:
\(2 p^{2} + 1 = 2 \left(\right. 5 \left.\right)^{2} + 1 = 2 \left(\right. 25 \left.\right) + 1 = 51\)
\(51\) không phải là số nguyên tố vì \(51 = 3 \times 17\).
Như vậy, không phải mọi \(p\) thỏa mãn điều kiện bài toán đều tạo ra \(2 p^{2} + 1\) là số nguyên tố. Ta không thể chứng minh điều này với mọi giá trị của \(p\).
Bài 2
Cho số tự nhiên \(n > 2\) và không chia hết cho 3. Chứng minh rằng hai số \(n^{2} - 1\) và \(n^{2} + 1\) không thể đồng thời là số nguyên tố.
Chứng minh:
- Gọi \(p = n^{2} - 1\) và \(q = n^{2} + 1\).
- Ta biết \(p = n^{2} - 1 = \left(\right. n - 1 \left.\right) \left(\right. n + 1 \left.\right)\).
- Nếu \(n\) là số nguyên lớn hơn 2, thì \(p = n^{2} - 1\) sẽ là một tích của hai số nguyên lớn hơn 1, do đó \(p\)là hợp số, không phải là số nguyên tố.
- Do đó, \(p = n^{2} - 1\) không thể là số nguyên tố.
- Tiếp theo, ta xét \(q = n^{2} + 1\).
- \(n^{2} + 1\) có thể là số nguyên tố hoặc hợp số tùy thuộc vào giá trị của \(n\), nhưng không thể có cả \(p = n^{2} - 1\) và \(q = n^{2} + 1\) cùng là số nguyên tố.
Kết luận: Do \(p = n^{2} - 1\) không thể là số nguyên tố, nên \(n^{2} - 1\) và \(n^{2} + 1\) không thể đồng thời là số nguyên tố.
Bài 3
Ta gọi \(p\) và \(q\) là hai số nguyên tố liên tiếp nếu giữa \(p\) và \(q\) không có số nguyên tố nào khác (ví dụ: \(7\) và \(11\) là hai số nguyên tố liên tiếp). Tìm ba số nguyên tố liên tiếp \(p\), \(q\), \(r\) sao cho \(p^{2} + q^{2} + r^{2}\) cũng là số nguyên tố.
Giải:
Ta sẽ thử một số bộ ba số nguyên tố liên tiếp nhỏ:
- Nếu \(p = 3\), \(q = 5\), \(r = 7\), ta có:
\(p^{2} + q^{2} + r^{2} = 3^{2} + 5^{2} + 7^{2} = 9 + 25 + 49 = 83\)
\(83\) là số nguyên tố.
Vậy ba số nguyên tố liên tiếp \(p = 3\), \(q = 5\), \(r = 7\) thỏa mãn điều kiện bài toán, vì \(p^{2} + q^{2} + r^{2} = 83\) là số nguyên tố.
Kết luận: Ba số nguyên tố liên tiếp \(p = 3\), \(q = 5\), \(r = 7\) sao cho \(p^{2} + q^{2} + r^{2} = 83\) là số nguyên tố.
LT
1
26 tháng 9 2015
+)Xét th p=2=>p+7=9 là hợp số (trái với đề bài)
+)Xét th p=3=>p+7=10 là hợp số (trái với đề bài)
+)Xét th p>3=>p có một trong hai dạng : p=3k+1; p=3k+2 (k\(\in\)N*)
Nếu p=3k+2=> p+7=3k+2+7=3k+9 chia hết cho 3
=> p+7 là hợp số (trái với đề bài)
Vậy p chỉ có thể bằng 3k+1
Nếu p=3k+ 1 => 2p+4=2(3k+1)+4=6k+2+4 =6k+6 chia hết cho 3
=>2p+4 là hợp số.
UI
2
2 tháng 1 2017
Nếu p = 2 => 2p + 5 = 2 . 2 + 5 = 9 chia hết cho 3 => là hợp số => Loại
Nếu p = 3 => 2p + 5 = 3 . 2 + 5 = 11 => là số nguyên tố
2p + 7 = 3 . 2 + 7 = 13 => là số nguyên tố => Loại
Nếu p khác 3 => p không chia hết cho 3 => p = 3k + 1 hoặc 3k + 2 ( k thuộc N )
+ Với p = 3k + 1 => 2p + 5 = 2( 3k + 1 ) + 5 = 6k + 2 + 5 = 6k + 7 => là số nguyên tố
=> 2p + 7 = 2( 3k + 1 ) + 7 = 6k + 2 + 7 = 6k + 9 => là hợp số => TM
+ Với p = 3k + 2 => 2p + 5 = 2( 3k + 2 ) + 5 = 6k + 4 + 5 = 6k + 9 => là hợp số => Loại
Vậy với p = 3k + 1 => 2p + 7 là hợp số
5 tháng 2 2022
b: Gọi d=UCLN(2n+1;3n+1)
\(\Leftrightarrow3\left(2n+1\right)-2\left(3n+1\right)⋮d\)
\(\Leftrightarrow1⋮d\)
=>d=1
=>UC(2n+1;3n+1)={1;-1}
c: Gọi d=UCLN(75n+6;8n+7)
\(\Leftrightarrow8\left(5n+6\right)-5\left(8n+7\right)⋮d\)
\(\Leftrightarrow d=13\)
=>UC(5n+6;8n+7)={1;-1;13;-13}
DA
0
25 tháng 1 2021
Bài 4:
Vì P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên P là số lẻ
hay P-1 và P+1 là các số chẵn
\(\Leftrightarrow\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮8\)
Vì P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên P=3k+1(k∈N) hoặc P=3k+2(k∈N)
Thay P=3k+1 vào (P-1)(P+1), ta được:
\(\left(3k-1+1\right)\left(3k+1+1\right)=3k\cdot\left(3k+2\right)⋮3\)(1)
Thay P=3k+2 vào (P-1)(P+1), ta được:
\(\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)=\left(3k+1\right)\left(3k+3\right)⋮3\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮3\)
mà \(\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮8\)
và (3;8)=1
nên \(\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮24\)(đpcm)
DT
0
p>3 => p có dạng 3k+1; 3k+2
p = 3k+1 => 2p+7 = 2(3k+1) +7= 6k+2+7 = 6k+9 chia hết cho 3 (thỏa mãn)
p = 3k+2=> 2p+7 = 2(3k+2)+ 7 = 6k+4+7= 6k+11 (loại)
Vậy 2p+7 là hợp số