Chứng minh rằng: 2x(x+y-1) + 1 >= 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
JA
0
2 tháng 5 2020
Áp dụng công thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\left(x,y>0\right)\)
Ta có \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\)
=> \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)\left(1\right)\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)
(1)(2)(3) => \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
=> \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{3}{4}\)
18 tháng 2 2020
Áp dụng bất đẳng thức : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)( với x , y > 0 )
Ta có : \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right);\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\)
Suy ra :
\(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)\left(1\right)\)
Tường tự ta có :
\(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right)\left(2\right)\)
\(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)\left(3\right)\)
Từ (1) , (2) và (3)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{3}{4}\)
Chúc bạn học tốt !!!
1 tháng 5 2015
+) Áp dụng BĐT Cô - si cho 4 số dương x; x; y; z ta có:
\(x+x+y+z\ge4\sqrt[4]{x.x.y.z}\)
=> 2x + y + z \(\ge4\sqrt[4]{x.x.y.z}\) (1)
Với 4 số dương \(\frac{1}{x};\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\) ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge4.\sqrt[4]{\frac{1}{x}.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}\) (2)
Từ (1)(2) => \(\left(2x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge4.\sqrt[4]{x.x.y.z}4.\sqrt[4]{\frac{1}{x}.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}=16\)
=> \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{16}.\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (*)
Tương tự, ta có: \(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}.\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (**)
\(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\) (***)
Từ (*)(**)(***) => Vế trái \(\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{4}.4=1\)
=> đpcm
13 tháng 1 2019
+) Áp dụng BĐT Cô - si cho 4 số dương x; x; y; z ta có:
x+x+y+z≥44√x.x.y.z
=> 2x + y + z ≥44√x.x.y.z (1)
Với 4 số dương 1x ;1x ;1y ;1z ta có: 1x +1x +1y +1z ≥4.4√1x .1x .1y .1z (2)
Từ (1)(2) => (2x+y+z)(1x +1x +1y +1z )≥4.4√x.x.y.z4.4√1x .1x .1y .1z =16
=> 12x+y+z ≤116 .(2x +1y +1z ) (*)
Tương tự, ta có: 1x+2y+z ≤116 .(1x +2y +1z ) (**)
1x+y+2z ≤116 .(1x +1y +2z ) (***)
Từ (*)(**)(***) => Vế trái ≤116 (4x +4y +4z )=14 .(1x +1y +1z )=14 .4=1
=> đpcm